1、 专业 K12 教研共享平台北京市通州区 2018 届下学期高三年级三模考试数学试卷（文科）本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ， ，则|02Sx或 |13TxST（A） (2,3)（B） (,)（ C） (1,3)（D ） (0,1)2,3（2）若复数 ，则 的模等于i(1)zz（A）2 （B） 5（ C） 10（D） 32（3）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（A）4（B）9（C）16（D）21（4）若 满足则 的最大值为,
2、xy3,20,xy yx专业 K12 教研共享平台（A）12（B） 1（C）32（D） 2（5）设 为定义在 上的偶函数，且 在 上为增函数，则 ()fxR()fx0,(),(3)ff的大小顺序是（A） ()2(3)fff（B） (2)3()ff（C） （D） （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）（ A） （ B） （ C） （ D）1232（7）已知非零向量 ， 则“ ”是“ 夹角为锐角”的a,b0a,b（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）标准的围棋棋盘共 行 列， 个格点，每个格点上可能出现“黑”“
3、白”“空”三种情况，19361因此有 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，361他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 ，下列数据最接近5210的是 （ ）361520lg30.47（A） 7（B） 361（C） 3510（D） 3410第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。专业 K12 教研共享平台（9）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交xOyx于点 ，则 _.1(,)2ysin（10）抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成三角形的面2(0)px2
4、14yx积 等于 ，则 _.（11）设 是函数 图象上的动点，当点 到直线 的距离最小时，2(,)Pn2yxP1yx_.（12）能够说明“设 是任意实数若 ，则 ”是假命题的一组整数,abcabc22abc的值依次为_.,abc（13）在 中， ， ， ， 为线段 上一点，则ABC903BACPAB的取值范围为_.Pur（14）某学校开展一次“五 四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第 1、2 题满分都是 15分，第 3 题满分是 20 分每个问题或者得满分，或者得 0 分活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有 6 名选手只答对其中一道题，有 12 名选手只答对其中两道题答对第 1 题的
5、人数与答对第 2 题的人数之和为 26，答对第 1 的人数与答对第 3 题的人数之和为24，答对第 2 题的人数与答对第 3 题的人数之和为 22则参赛选手中三道题全答对的人数是_；所有参赛选手的平均分是_三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且na12a4nb146b是等比数列.b（）求数列 和 的通项公式；nb（）若 ，都有 成立，求正整数 的值.*Nnk k（16） （本小题 13 分）已知函数 .2()123cos()sinfxxx专业 K12 教研共享平台（）求 的最
6、小正周期；()fx（）求证：当 时， .0,21()2fx （17） （本小题 13 分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时） ，活动时间按照0，0.5 ） ，0.5 ，1） ，4，4.5 从少到多分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示（）求图中 a 的值；（）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（III）在 1.5，2） 、2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取 9 人，再从这 9 人中随机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在同一
7、个组的概率（18） （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为正方形，PABCDPABCDAB 为等边三角形， 是 中点，平面 与棱 交于点 .PABEEF（）求证： ；/F（）求证： 平面 ；（III）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，直接写出PAD1VPABCD2V的值.12V专业 K12 教研共享平台（19） （本小题 14 分）已知椭圆 过点 ，且两焦点与短轴的一个顶点的连2:1(0)xyCab(23,)P线构成等腰直角三角形.（）求椭圆 的方程；（）过 的直线 交椭圆于 ， 两点，试问：是否存在一个定点 ，使得以(0,1)lABT为直径的圆恒过点 ？若存
8、在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.ABTT（20） （本小题 13 分）已知函数 的定义域是 ，且有极值点2exfbR（）求实数 的取值范围；b（）求证：方程 恰有一个实根12fx专业 K12 教研共享平台参考答案第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 2 3 4 5 6 7 8A C B B B C B B第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9 ） （10 ） （11） （12） （此题答案不唯一） （13）3212013,27
9、（14） ； .5三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （）解：设 的公差为 ，则nad413a所以 .2(1)42n故 的通项公式为 （ ）.ana*N设 ，则 为等比数列.nncbc，11244168b设 的公比为 ，则 ，故 .ncq318c2q则 ，即12n2nnab所以 （ ）14b*N故 的通项公式为 （ ）.n 14nn *（）解：由题意， 应为数列 的最大项.kbn由 （ ）111()224nnnb*N专业 K12 教研共享平台当 时， ， ，即 ；3n10nb1nb23b当 时， ，即 ；34当 时， ， ，即1n1n56综上
10、所述, 数列 中的最大项为 和 .b3b4故存在 或 ，使 ，都有 成立.3k4*Nnk（16） （I）解：因为 ()2sicos2fxxxin，2si()6x所以 的最小正周期为 .()f（II）证明：因为 ，02x 所以 .766 所以 .1sin(2)1x 所以 .i()6 所以 .12fx （17） （I）解：由频率分布直方图，可知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在0 ，0.5）的频率为 0.080.5=0.04同理，在0.5，1） ，1,1.5） ，1.5，2）2 ，2.5） ，2.5，3）3，3.5） ，3.5，4） ，4，4.5的频率分别为 0.08，0.15，
11、0.5a，0.25，0.15，0.07 ，0.04，0.02由 102.47.015.501.804. 解得 a=0.40（II）解：设“活动时间”的中位数为 m 小时因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.720.5，专业 K12 教研共享平台而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20=0.470.5，所以 2m2.5由 0.50（m 2）=0.5 0.47，解得 m=2.06所 以 估 计 该 社 区 住 户 中 离 退 休 老 人 每 天 的 平 均 户 外 “活 动 时 间 ”的 中 位 数 为 2.06 小时（ III）
12、 解 ： 由 题 意 得 平 均 户 外 活 动 时 间 在 1.5， 2） ， 2， 2.5） 中 的 人 数 分 别 有 20 人 、25 人 ， 按 分 层 抽 样 的 方 法 分 别 抽 取 4 人 、 5 人 ， 记 作 A， B， C， D 及 a， b， c， d， e 从 9人中随机抽取 2 人，共有 36 种，分别为：（A，B） ， （A， C） ， （A ，D） ， （A，a） ， （A，b） ， （A ，c） ， （A，d） ， （A ，e） ，（B，C ） ， （B，D） ， （B，a） ， （B，b） ， （B，c ） ， （B，d） ， （B，e ） ， （C ，D
13、） ， （C，a） ，（C，b ） ， （C ， c） ， （C，d） ， （C ，e） ， （D ，a） ， （D ，b） ， （D，c） ， （D，d） ， （D，e ） ，（a，b） ， （a，c ） ， （a，d） ， （a，e ） ， （b，c ） ， （b，d） ， （ b，e） ， （c ，d） ， （c，e） ，（d，e）在同一组的有：（A，B） ， （A，C ） ， （A，D） ， （B，C ） ， （B，D） ， （C，D） ，（a，b） ， （a，c ） ， （a，d） ， （a，e ） ， （b，c ） ， （b，d） ， （ b，e） ， （c ，d） （c，e） ，
14、（d，e） 共 16 种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率 16439p（18）（I）证明：因为正方形 ，所以 .ABCD/BC因为 平面 ， 平面 ，ADPP所以 平面 ./因为 平面 ，平面 平面 ，EFEF所以 ./（II）证明：因为正方形 ，所以 .ABCDAB专业 K12 教研共享平台因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面PABCDPABCDAB，ABCD所以 平面 .因为 平面 ，所以 .PB因为 为等边三角形， 是 中点，AEPB所以 .因为 平面 ， 平面 ， ，EFDAFDAE所以 平面 .PB（III）解： .1238V（19） （）解：因为椭圆 的两焦点与短轴的一个顶点
15、的连线构成等腰直角三角形，C所以 .所以椭圆 的方程为 .2ab21xyb又椭圆 经过点 ，代入椭圆方程得 .(3,)P3所以 . 故所求椭圆方程为 . 32a2189xy（）解：由已知动直线 过 点.l(0,)当 与 轴平行时，以 为直径的圆的方程为 ；lxAB22(1)6xy当 与 轴重合时，以 为直径的圆的方程为 .ly 9所以两圆相切于点 ，即两圆只有一个公共点. (0,3)因此，所求点 如果存在，只能是点 .T(0,3)以下证明以 为直径的圆恒过点 ：AB,T当 与 轴垂直时，以 为直径的圆过点 ；lx (0,3)当 与 轴不垂直时，设 .l :1lykx专业 K12 教研共享平台由
16、 得 .21,89ykx2(1)460kxk由 在椭圆内部知 成立.(0,)0设 ，则 .12,(,)AxyB121246,kxxk又 ， ，,3Tur(,3)Tyur所以 122122(4)xxkx()4()6k.226110k所以 ，即以 为直径的圆恒过点 .TAB(,3)T所以存在一个定点 满足条件. (0,3)T（20） （）解：由 的定义域是 ，知 得 2exfbR40b1，2222ex xf 由 得 ，故 0f0b当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值2b2e0xfxfxR点所以实数 的取值范围为 b12b（）证明：由（）知函数 的两个极值点为 ，fx21,0mb，20,nxm,n,nf+ 0 0+x 极大值 极小值
