1、智浪教育普惠英才文库全国初中数学联赛模拟试卷二一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题只有一个正确答案,选对得 5 分,选错、不选或多选均得 0 分).1.已知方程 有两个正整数根,则 a 的值是( ).352axA.a=1 B.a=3 C.a=1 或 a=3 D.a=1 或 a=42.已知函数 的最大值为 9,最小值为 1,则有( ).162xbyA.a=5,b=4 B.a=4,b=5 C.a=b=5 D.a=b=43.若方程 有且仅有一个实数满足,则 p029)3(624 pxpx的值是( ).A. B.9p8C. 或 D.不存在484.方程 恒有二相异实根,方程 也有二相异02ax 02
2、kax实根,且其二根介于上面方程二根之间,则 k 的取值为 ( ).A.k2a 2 B.ka-4 C.a-4ka 2 D.a-4k a5.已知 a、b、c 均为正实数 ,关于 x 的三个方程:02xx22bxax则这三个方程存在实根的情况是( ).A.均有实根 B.至少两个有实根C.至少一个有实根 D.都没有实根6.用集合 R1、R 2分别表示下列两函数的值域.(1) ; (2) (x0)则有( ).xyy913A.R1=y:y3, R 2=y:y-3智浪教育普惠英才文库B.R1=y: y3, R 2=y:y-33C.R1=y: y 3, R 2=y:y-3D.非上述答案二、填空题(本大题共有
3、 6 个小题,每小题 5 分)1.已知方程 有实根,则方程的根为0293()1(22baxax_.2.已知方程(|a|-1)x 2+2(a+1)x+1=0 恰有一个实数满足 ,则 a 的值为_.3.若方程 只有一个实根,则 a 的值为_.0)3(34.若方程组有解,但无不同的解,则 a 等yxayx2)(2于_.5.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD =DC=1,DAB=DCB =90,BC、AD 的延长线交于点 P,则 ABSPAB 的最小值是_.6.设 ,当 时,直线 y=ax+b 与曲2)(|)(,2)( xffxgxf 0a线 y=g(x)有三个不同的交点 ,则 a、b 的取值范围
4、是 _.三、解答题1.(8 分)已知 abc ,求证 : 22 )(9)2)(4( cacb 2.(8 分)一艘船 A 停泊在距海岸 2 千米处的海面上 ,沿海岸有一座 B 城,距离岸上离船最近的 C 点 3 千米.一位船员因事要到 B 城去.已知他步行每小时走5 千米,划船每小时行 3 千米,问此船员最快几小时到达 B 城?3.(10 分)已知 ,且 a0,b0,c0,求证方程 22c )1(2xa有两个不等的实根;若该方程的两根的平方和等于 6,求它01(2xb的两根.4.(14 分)已知 a、b、c 都是正数 ,求证:(1)若长度为 a、b、c 的线段可构成一个三角形 ,则对一切满足 p
5、+q=1 的实数,都有 pa2+qb2pqc 2.(2)若对于一切满足 p+q=1 的实数,都有 pa2+qb2pqc 2,则长度为 a、b、c的线段可以构成一个三角形.智浪教育普惠英才文库参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6答案 C C A C C C1.解 1:方程 x2+5x+a+3=0 有两个正整数根.其判别式 =5 2-4(a+3)=13-4a应为一完全平方数,且不大于 52,因而 a=1 或 a=3.易验证,a=1.a=3 时原方程确有两个正整数根,故选 C.解 2:设方程的二整数根为 x1、x 2,不妨设 x1x 2,由韦达定理应有 : x1+x2=5, x1x2=a+
6、3.由应有 x1=2,x2=3 或 x1=1,x2=4,代入得 a=3或 a=1.故选 C.2.解:由 82xby得 (a-y )x2+8x+(b-6)=0.要此方程有实根,应有=8 2-4(a-y)(b-y)0也即 y 2-(a+b)y+ab-160因为 y 的最小值是 1,最大值是 9,因此可得方程组:016)(981解这个方程组得 a=b=5,故选 C.3.解:将方程x4+6x3+(9-3p)x2-9px+2p2=0变形得 (x 2+3x-p)(x2+3x-2p)=0由于这个方程仅有一个实数满足,因此方程 x2+3x-p=0 与 x2+3x-2p=0,有一个有重根,另一个无实根,于是应有
7、不等式组(I) 与() 089421p089421由不等组(I)得 ,不等式组()无解.故选 A.4.解:设方程 x2+2ax+a-4=0 的二根为 x1,x2,判别式为;方程 x2+2ax+k=0 的二根为 、 ,判别式为64)(421 a 1x2.则有k2 22211 aa智浪教育普惠英才文库从而得 ,即214a2-4a+164a2-4k解得 ka-4.又 x1、x 2及 、 都是相异二实数根 ,因而 20, 10.只要 2=4a2-4k0,即12x可得 k0,此时原方程组的解不唯一,矛盾.因此方程组有解时,必须 x=0 才有可能有唯一解.此时方程的判别式=4+4a=0,所以 a=-1.此
8、时方程x 2=- ,正好无解.而方程为 y2=-1+2y,得41y=1.故 a=-1 时,方程组有唯一解.5.解:设 DP=x,则 AP=x+1,PC= .由PCDPAB 可得:12DCABP所以 12x令 ABSPABy APAB12x智浪教育普惠英才文库 212x)1(2x)1(23)(x得 x 2+2(1-y)x+(1+2y)=0由于 x 为实数 ,所以=4(1-y) 2-4(1+2y)0即 4y(y-4)0又 y0,故应有 y4,即 ABSPAB 的最小值是 4.6.解:f(x)=x 2+x-2=(x+2)(x-1)若 x-2 或 x1,则|f(x)|=x2+x-2=f(x)若-20
9、-20 h(1)=b+a0 当 x-2 或 x1 时当 时智浪教育普惠英才文库由得 b0 时,b2a;当 a-a.所以 a、b 的取值范围是 2abc,从而 =2a-b-c0, =2c-b-a0ba .04422c所以此方程有两个不等的实根. acbacbx)1()(22,1 61 6)()12()( 2acb )(2acbb0,c0, 1acb故方程的二根为 x1= ,x2= .4.证明:p+q=1 时,pa2+qb2-pqc2智浪教育普惠英才文库=pa2+(1-p)b2-p(1-p)c2=c2p2+(a2-b2-c2)p+b2二次函数f(x)=c2x2+(a2-b2-c2)x+b2=(a
10、2-b2-c2)2-4c2b2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)(1)若长度为 a、b、c 的线段可能构成三角形 ,从而有a+bc, b+ca, c+ab.0,抛特线开口向上 .f(p)0.即 p+q=1 时,pa 2+qb2-pqc20.pa 2+qb2pqc2(2)对一切满足 p+q=1 的实数,都有 pa2+qb2pqc2.即 f(p)=c2p2+(a2-b2-c2)p+b20成立.所以二次函数f(x)=c2x2+(a2-b2-c2)p+b2的图象在 x 轴上方 .故=(a+b-c)( a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)0,b0,c0.a+b+c0,所以(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)0 不失一般性,不妨设 abc0,显然a+b-c0, c+a-b0.由知必有 b+c -a0所以长度为 a、b、c 的线段可以构成一个三角形 .
