托勒密定理(共5页).doc

托勒密定理【定理内容】圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和即：若四边形内接于圆，则有.评等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。【证法欣赏】证明：如图，过作交于，使,，即 又，, ，即 得：即【定理推广】托勒密定理的推广：在四边形中，有；当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。 证 在四边形内取点，使，则，；，且，即；当且仅当在上时“=”成立，即【定理推广】托勒密定理的推论：等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积 即：若四边形是等腰梯形，且， 则.分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。【定理应用】【例1】 如图，是正外接圆的劣弧上任一点(不与、重合)， 求证：证明：由托勒密定理得：. 注此例证法甚多，如