1、- 1 -高观点下数列和式不等式放缩的研究探讨两类典型问题的通法李绍塔（杭州第十四中学,浙江 杭州 310015） 摘要：该文利用等价量的思想研究两类数列和式不等式的放大和缩小;通过两个定理的给出,得到解决这两类问题的通法,即“抱团”放缩法和“主导项”思想方法.关键词：数列不等式;“主导项”思想;“抱团”放缩 ;调和级数;等价量0 引 言数列是高中数学的重要知识内容,同时作为高等数学研究极限的主要对象之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点.在历年的高考解答题中,数列也都占有相当重要的地位,近年来的浙江省高考数列内容的考查更以压轴题形式出现,而且把数列与不等式结合起来历来是高考命题的热点、难点.
2、我们都知道数列是定义在正整数集或其子集上的函数,那么处理数列与不等式问题理论上也可转化为函数与不等式的问题来处理,但数列又属于离散数学范畴,所以处理这类问题又不能照搬函数与不等式的处理方式,它具有其自身的独特性,这些独特性恰是值得我们探讨的且需要我们在今后的教学中重点关注的. 实际上,近年来的高考命题往往可以寻到某些高等数学的影子,所以在今后的教学中可以适当渗透一些高数中极限思想等以提高学生的思想高度和解题能力,所谓站得高看得远,正是这个道理.本文正是基于极限思想下利用等价量对数列的和式不等式进行放大或缩小,重点探讨了两类常见的典型数列放缩问题,给出了解决这两类问题的通法.1 预备知识定义 1
3、 若 在 上有定义,当 时,有 ,则称 为无穷大量.()fn*Nn()fn()fn定义 2 若 为无穷大量,且 ,则称 为 的低阶无穷大量.glimfg=g定义 3 若 为无穷大量,且 ,则称 与 为等价无穷大量.()f ()1n()f定义 4 若 ,则称无穷级数 是收敛的.1limnkS=1nf=2 理论依据定理 1 若 为等价无穷大量,则 ,当 时,有(),)fng *01,MNlm“ln(1)xg1 2123()knbknbf问题模型二.已知 ,其中 为 的低阶无穷大量 以及 ,1()nf=-(gf 0收敛到 ,求证： ,即证 是收敛的.1()nf=A12naS+g1 2123()knb
4、knbf问题分析 由定理 2 可得 ，从而 ,则可根据123limlnn+=Llim1(ln)nna+=Lg定理 1 进一步得到 ,1212,kbRka“23()kbf下面一起来看几个问题模型一具体的例子.例 1.求证: . 11232n+L分析 可知： ,故 的等价线性132limlim1l (ln)nnn n+=L123n+L主部为 ,因此,缩小为 是合理的.(l2)12+证明 由定理 2 可知： ,从而,l(21)(l3nn+L(1) 当 （ 表示取整）时,有 成立;1ln-x2(2) 当 时,有 成立;1l2-1123n+L综上, .*,nnN“ 实际上,通过以上证明过程，可以让中学生
5、了解例 1 的出题背景和出题思路，另一方面，中学生又是没法采用以上的证明步骤解题的, 从而需要我们在这一思路下寻找初等的方法进行以上和式的放缩.因此，下面给出“抱团”放缩的操作步骤.只要考虑一次项系数 ,有 ,故1211122nnn-+=Lg,即证.11()(233)24n nn-+=+ +L变式 1.求证： .722n证明 显然 ,从而变式 1 是合理的,仿造例 1 的证明过程,即证.7ln1+=+LLLg从而 11 77()( ()334)2nnn n-即证.- 4 -变式 2.求证 .15+36n 1证明 显然 ,从而变式 2 是合理的,考虑 ,有5ln6+=LLLg故 ,即证.5)23
6、24)6nn -+小结 1 对于调和级数型数列求和的放缩,实际上从无穷级数的角度可以找到命题的高数背景和解题的理论依据及思想方法. 此外,在问题模型一中常用的“抱团”放缩的结论如下：.111(,)2nnnaNa *- -+L实际上,对 这“一团”还可以再进行适当的“分段抱团”放缩,1n-如例 1 变式 1 中的 211212 1211()()()22 34nnnnn n- - -+=+=LLLg由等价量思想，不难得到 中的一次项系数可以变大,比如说取 ，其中，753840，当然此时的“一团”也要相应的变成“四团”进行放缩，以至于可以无531840678限接近 ,当然,常数项需要做适当的调整.l
7、n2以上的例子和分析都是针对和式不等式缩小的处理,放大的处理方式和证明完全相同,本文不再赘述.问题模型二.已知 ,其中 为 的低阶无穷大量 以及 ,1()nafg=-()nf ()0fn收敛到 ,求证： ,即证 是收敛的.1()nf=A12naS+1nka=某项开始单调递增，根据单调有界必收敛定理可得 是收敛的. 1na=在这里，重点探讨 为收敛几何级数时的有关应用.下面一起来看几个具体的例子.1()nf=- 5 -例 2.已知 ,证明不等式 .32()naN*=-123naa+取 时,为了使 恒成立,则 ,则 ,从而 ,M3nn-max()(3l-=13123nn-g故 ,证毕.12121(
8、)(332nnnaa-+=max24()(9nl-=5l而 ，故 ,证毕.1()5329nn-g12312 )9131()505(nnaa-+max28()(37nl-=192l从而 ，1()93237nn-g故 ,证毕.23412 1()12143()5590nnnaa -+=+例 3.已知 ,证明不等式 .()nN*121490na+max()nl-=3n- 6 -,从而 ,故 ,23l123nn-g1212 1()33(342nnnaa-+=取 时, 恒成立,则 ,则 ,从而 ,2M=3nnl- max2(1)39nl-=7l1(2)739nn-g故 ,12312 ()195()7273
9、nnnaa -+=Q取 时, 恒成立,则 ,则 ,从而 故3M3nnl- max1(1)39nl-=8l1(3)89nn-g, .3412()19 143()1782746520nnnaa -+=LL W小结 3 实际上,在以上数列和式的一个上界给定的前提下,去寻找合适的放大系数的过程,按照“主导项”思想,我们知道这个过程一定是有限次数即可完成的.这里选取的通项类型是一个等比数列和一个等差数列作差之后取倒数的数列,实际上,当时,同样由分母 控制了整个分式的变化, 相对于 在 时可以忽略不计,也是被n3n n3n“吃掉了”,所以在后续的放缩过程中,均应该选择放缩成“主导项” ,而我们唯一要做的事
10、n情就是基于“主导项”思想下不断地选取从某项开始放缩的最优系数,如以上过程中等.随着这个过程的进行,总能找到一个时刻,从此以后满足放大之后的上界均能小于27839l=所证式子中给定的上界.以上的例 2、3 及其相关的变式只是对 为两个等比数列和一个等比数列与一()fng、个等差数列的类型进行了简单的探讨,实际上,通过 结构的变化可以产生更多有意()n、思的问题,也有待进一步研究.4 结束语本文先是给出两个后续实例展开所依托的定理,通过实例研究的方式进一步探讨两类典型的问题模型,根据等价量的思想,归纳出中学生能够理解并具有操作性的“抱团”放缩和“主导项”放缩的思想方法.同时,实例的选取始终依托于高中数学中最基本的等差数列和等比数列,重视基础和数学思想的提升,挖掘通法,努力淡化数列放缩的技巧性,让学生感受某些数列放缩类型的可循之迹. 数列放缩的类型繁多,只要能刻苦钻研, 适当归类, 寻求通法,就一定会有所发现,提升能力.
