拉格朗日中值定理与高考数学(共6页).doc

拉格朗日中值定理与高考数学 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 .1、证明或成立（其中）例：（2007年高考全国卷I第20题）设函数.（）证明：的导数；（）证明：若对所有，都有 ，则的取值范围是.（）略.（）证明：（i）当时，对任意的，都有(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让 得，所以的取值范围是.评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令，再分和 两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明成立例：（2004年四川卷第22题）已知函数.（）求函数的最大值；（）设，证明：.（）略； （）证明：依题意，有