1、人教版八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.1.1 变量与函数(1)台州市白云中学 李玲娅1、教材分析函数是数学中重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，函数思想也是一直重要的数学思想.本章既是学习函数的入门，也是进一步学习的基础。教材关注概念的实际背景与形成过程，通过学生较熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中数量关系的变化规律，使学生感受常量与变量的意义，为进一步学习函数概念作铺垫。通过本章的学习，要让学生感受数学的价值，培养和提高学生的应用意识.本节课首先准确认识变量与常量的特征，初步感受现实世界中各种变量间的复杂性
2、，同时感受到数学研究方法的化繁为简，在初中阶段主要研究两个变量间的特殊对应关系.本节课对培养学生比较、分析、概括的思维能力有非常重要的作用，而且对培养学生运动变化等辨证唯物主义观点和形成良好的个性品质也有一定的帮助.2、学情分析和教学方法教材中在这之前虽然安排有“用字母表示数”蕴涵着变量与函数思想的萌芽；“求代数式的值”体现了代数式的值随字母取值变化而变化的函数思想；“二元一次方程”是函数解析式的呈现方式；探索分式有意义的条件相当于探索自变量的取值范围，探索分式值为 0 的条件，相当于已知函数值求自变量的值。但在学习以上内容时，学生并没有从运动变化的角度去学习，故学生学习中有一定难度.本节课从
3、学生熟悉的问题引入，创设丰富的现实情境，重视直观感知的作用，让学生对变量和常量有一定的认识，通过学生之间举实例过程中的相互讨论、交流、判断变量和常量来理解概念，明白变量和常量是相对的，再通过分析变量间的相互关系，体会运动变化规律的辩证思想和函数思想.最后又通过学生将数学式子赋予实际背景，促进学生进一步感受数学来源于生活，高于生活，又可以用生活问题来诠释数学.3、教学目标与解析1.目标：（1）了解变量与常量的概念；（2）结合实际问题中的实例，抽象出常量与变量，体会运动变化过程中的数量变化以及变量间的相互依存关系；（3）通过寻找常量和变量，体会事物间运动变化规律中的变量和常量的相对性的辩证思想.2
4、.目标解析目标（1）的要求是根据具体问题，确定哪些量是常量，哪些量是变量；目标（2）的要求是通过探索两个变量间的变化规律，体会用数学式子表示变量间的关系的方法；目标（3）的要求是学生通过积极参与课堂上对问题的分析，初步体验尽管事物是不断发展、不断变化的，但其内在存在着一定变化规律以及变与不变的相对性的辩证思想.四、教学重点与难点重点：变量与常量的概念；变量间的关系.难点：变量与常量的相对性的认识；运用数学语言描述实例中的变化规律.5、教学设计（一）创设情境，高屋建瓴师：古希腊哲学家赫拉克利特曾经说过这样的一句话：“人不能两次踏进同一条河流.”你能说说对这一句话的看法吗？ （学生发表不同的看法，
5、教师予以肯定.）师：是的，不只是河流日夜奔腾不息，事实上，“大千世界，万物皆变”，但它们“变之有序. ”如行星的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；树高随树龄而变化为了从数量上来描述它们的变化关系，揭示它们的变化规律，数学上逐渐形成了函数.本章我们将认识一个新伙伴函数.本章中，我们将通过研究函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运动变化规律，重点学习一类最基本的函数一次函数，结合它的图像讨论它的性质，并利用它研究一些数学问题和实际问题，感受函数在解决运动变化中的作用.设计意图从古希腊哲学家这句话出发，促使学生站在哲学的角度感受现实世界存在着运动变化；通过这三个具体的实例让学生感受到身边的周围
6、事物中，一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在；激发学生学习的好奇心.（2）概念形成1.抛砖引玉师：今天，我们先从身边的几个具体的运动变化现象中了解一些相关的量.问题 1 行驶中的汽车 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km师：在汽车行驶过程中，涉及到了哪些量?生：路程，速度和时间.师：哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ 生：时间和路程发生了变化；速度没有发生变化.师：这些量之间的变化有什么关系？ 生：路程 =速度时间.师：同学用数量关系表示了路程 s，时间 t 和速度间的相互关系，即 s=60t。从这个关系式可知，路程 s 的变化是随着时间
7、t 的变化而变化的。如果取定 t 的一个值，s 的值也就确定了.请一起完成下表：师：我们通过观察生活现象，引入数量和数量关系，然后利用数量关系描述变化过程.问题 2 水中涟漪 当我们把一颗石子投到平静的湖面，圆形水波就会慢慢地扩大，形成美丽的涟漪.时间(t/h) 1 2 3 4 路程（s/km) 思考： (1)在水波不断扩大的过程中，哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ (2)这些量之间的变化有什么关系？ 师：变化过程的数学描述：圆的周长和面积随着半径的变化而变化.用数量关系描述变化的过程：C=2 r ; S=r 2 .我们再次感受到了从生活现象出发，引入数量和数量关系，并用数量关系来描述变
8、化的过程.问题 3 图形变化 如图，邻边长分别为 3，4 的平行四边形，在将这个平行四边形变成矩形的过程中，哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？设计意图结合学生比较熟悉其背景生活、数学的三个实例中，感受从不同的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.2.主动探究师：你能将刚才得到的这些量进行分类吗？生：（齐答）师：分为几类？你分类的依据是什么？生：按照这些量的数值是否发生变化分为两类；师：你能给这两类量取名吗？生：数值发生变化的量叫变量；数值不发生变化的量叫常量.师：这位同学说得太精彩了！这就是我们今天要学习的主要内容：变量与常量。变量和常量
9、都是针对在某一具体的变化过程中.（师板书：课题及变量与常量的定义）3.请你举出生活中变化的实例，并指出其中的常量与变量同桌之间相互举出实例，一人说实例，另一人指出实例中的变量与常量.设计意图通过取名，加深学生对变量与常量概念的理解；利用同桌之间相互举实例，既加强了学生的课堂参与度，又能让每一位学生感受到变量与常量大量地存在于我们的生活中.（三）概念辨析问题 4 再看汽车行驶 师：请说出下列各运动变化中的变量与常量.(1)汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t (h)，行驶路程为 s (km)(2)若 A,B 两地间的路程为 100 km，记汽车行驶的平均速度为 v (km/h)
10、，行驶完这段路程所需的时间为 t (h). 师：通过上面问题的解答，你对变量和常量有什么新的认识？生：在不同的变化过程中,变量和常量是相对的.师：若将第（2）问中 A,B 两地间的路程“100 km ”改为“s km ”，其余条件都不变，则此时的变量是什么？常量又是什么？生：常量仍是路程，变量也仍是速度和时间.师：很好，常量不一定就是一个具体的数，也可以用字母来表示。设计意图利用学生熟悉的行程问题的变式，让学生明白变量与常量是根据具体的变化过程来确定的，在不同的变化过程中，变量和常量是相对的.（4）应用新知师：学习了变量和常量后，让我们换个角度看生活问题和数学问题.1.从变量角度看生活问题问题
11、 4 水龙头关闭不严会造成漏水.用杯子去接漏水，杯子里的水位慢慢地升高.（杯子呈圆柱形）思考： （1）在杯子里的水位升高的过程中，有哪些变量？哪些常量？ （2）据调查，一个关闭不严的水龙头的漏水速度是每分钟 25 克，则漏水量 w 和漏水时间 t 有什么关系？这个水龙头一天的漏水量是多少？设计意图引导学生从不同角度寻找常量和变量（如科学中的质量、压力、压强、重力、摩擦力等；数学中的水位高度、体积等），让学生再次感受到数学与生活密不可分，且生活问题中总是包含着许多的变量和常量，而数学问题往往只是寻找某几个量间的相互关系，学会将复杂问题简单化；节约用水，树立环保意识.从学生的生活实际出发，既引导学
12、生多角度思考问题，又让他们明白数学研究的都是几个特殊量间的相互关系，促使他们能够从具有复杂背景的实际问题章抽取具体的数量关系，学会将复杂问题简单化。2.从变量角度看数学问题问题 5 填数游戏 请你在下列两个方框内各填入一个适当的数，使等式成立. 师：同桌两位同学分别选择其中一个方框各填一个数，使等式成立，请试一试.师：好，现在请甲、乙两位同学来说说你们是怎么填写的？你们在填写过程中有什么关系？生甲：我先填一个数，乙再填另一个数，且我们填的这两个数之积必须等于 20.生乙：如果甲的数发生变化，我的数也随之发生变化；甲的数一旦确定，我的数也就唯一确定.师：两位同学说的真好！若我们用字母 x,y 分
13、别表示这两个数，那么（1）在填数的过程中，变量是什么？常量是什么？ （2）这两个变量之间存在什么关系？生丙：变量是 x,y，常量是 20；变量之间是相互依赖的。 师：由这个式子我们可以得到，y 等于 ，说说你对式子 都有哪些认识呢？ 生：这是以前学过的分式，x 不等于 0.师：今天学习了变量和常量后，你对这个式子有什么新的认识吗？生：将 看作一个整体，就是一个变量.师：你能将式子 y= 赋予生活的实际意义吗？ 数学来源于生活，同时，又可以用生活来诠释数学. 设计意图通过填数游戏，既增加了学习的乐趣，又能促使学生明白“在一个变化过程中，变量与变量之间是相互依赖的”；回顾分式 的基础上，将新知识与
14、旧知识相结合，从变量的角度看分式；并让学生再次感悟数学与生活的密不可分.看似一个简单的变量与常量的应用，却从一个简单素材出发，环环相扣，既巩固了新知识，又引导学生从不同的角度思考问题，从而使新旧知识得到了很好的融合. yx（5）总结反思通过本节课的学习你学到了什么？怎么学的？你还有什么困惑？今日之我非昔日之我，亦非明日之我. 约霍姆设计意图通过总结，养成及时反思的习惯，也激发学生进一步探知的欲望.六、教学设计和反思变量与函数的概念教学是把学生由常量教学引入变量教学，是由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的量，是由静止的不变的数到运动变化的量,是学生数学认识上的一大飞跃。1.明确目标任务，实
15、施落实到位。本节课的问题都经过精心挑选，每个问题都担负着不同的教学目标和任务，且课堂中实施的非常到位.从古希腊哲学家的著名论断中，引导学生站在哲学的高度感受到世界是运动变化的；再从大到宇宙中的运动变化，小至身边的小树变化，明白我们生活在运动变化的世界中，从而说明从数学角度研究运动变化的世界的必要性，让学生明白为什么要学习变量与函数.问题 1，问题 2，问题 3 的设置，引导学生感受运动变化过程，从具体问题中抽象出数学问题，形成变量与常量的概念，感受“变化”与“对应”的思想；问题 4，问题 5 和问题 6，除了要求学生能根据不同的运动变化确定具体的变量与常量，同时都有各自的新的学习任务.如，问题
16、 4 侧重于学生了解不同的运动变化中，变量与常量是相对的；问题 5 承载着能从不同角度寻找变量与常量，而数学问题只是涉及某几个量的关系，领会数学问题的化繁为简的学习方法，并树立环保意识；问题 6 在游戏中感受“变化”与“对应”，常量与变量的相互依存关系，从变化角度看分式，并通过将式子赋予生活实例，促使学生理解数学来源于生活，高于生活，又服务于生活。2.选取合适的数学素材，引领学生经历数学化、形式化的过程。函数是刻画和研究现实世界中运动变化规律的数学模型。本节课选取的素材都是来自于生活现实、数学现实，在选取时都遵循真实、简洁，贴近学生的生活实际的素材。如何从具体的实例中抽象出运动变化的过程，提炼
17、出数学知识，形式化为数学知识是本节课的关键.为此，教学过程中，通过提出系列问题“这个问题蕴含着什么样的运动变化过程？涉及哪些量？它们有什么关系？若一个量的值发生变化，是否会引起另一个量的变化？若确定一个量的值，另一个量的值是否确定？”在解决这些问题的过程中，促使学生在具体问题中确定常量和变量后，也进一步理解了常量和变量的相对性，变量与变量间的“变化”与“对应”的函数思想，为下一节课函数概念的学习打下了坚实的基础，更为学生从熟悉的现实中，构建了将繁杂的现实转化为简单的数学，经历了数学化、形式化的过程.3.遵循学生认知规律，渗透数学思想。变量与常量的学习是为函数概念的学习作准备的，学生容易理解变量
18、与常量的概念，但难在从具体问题中形式化为数学问题，抽象出概念，渗透函数概念.教学中，我立足于学生学习数学的心理发展规律，遵循从具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的渐进认知规律，以教师为主导，学生为主体的教学原则，引导学生探究，培养学生分析问题和解决问题的能力；逐步渗透函数的变化和对应思想，从运动变化的角度看熟悉的生活问题和数学问题，并利用问题 5 既促使学生感悟化繁为简的数学学习方法，又进行了环保教育.故本节课不只是纯粹的数学概念的教学过程，更是学生数学思想方法的渗透课.本节课是学生初次把静止的表达式看成动态的变化过程，让他们从原来的常量、方程式和算式的静态的关系中，转化为运动变化关系，这样的学习毕竟是抽象的，所以学生在将实际问题形式化为数学问题过程中仍感困难.但由于本节课承载的内容容量较大，课堂上虽然给予同桌讨论交流的机会，由于交流的时间不够充足，故学生将问题从抽象到具体的转化还不够深入.
