1、推进思辨活动 提升思维品质-以一道中考试题的教学运用为例蔡卫兵（浙江省宁波市鄞州实验中学）例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，其质量的高低直接影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握，同时也影响学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累，从而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力。因此，教师在教学准备中要认真研究、准确判断和挖掘其功能和价值、进行合理的预设、引导学生进行顺势而思自然得法、对解法的思辨与优化、适度的变式拓展，使学生牢固掌握演绎推理的解题方法，深刻感悟数学思想，有效启迪数学研究方法，从而实现从知识向能力的转化和提升数学思维品质。本文所选例题是 2013 年浙江省宁波市中考数学试题第
2、17 题，是一道融推理与计算于一体的创新试题，涉及圆的基本性质、扇形的面积、解直角三角形等核心知识，具有较强的综合性，重点考查学生的逻辑推理能力和计算能力。利用此题在中考专题复习中进行教学运用，意在突出对几何核心知识的综合性运用，通过深入挖掘平面几何问题内在的数学特征，将知识自然地融入到对问题的发现、提出、分析与求解的全过程中，有利于学生思维的针对性训练。现呈现此题的剖析过程，与同行交流。例 如图 1， AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4 ，弦 CD=DE=4，连结 OB， OD，则图中两个阴影部分的面积和为 1 仔细观察图形，全面捕捉信息思维是核心，观察是入门。仔细观察，全面深入分
3、析问题，准确把握几何图形特征，可充分发挥其潜在的育人功能，促进学生学会合乎逻辑地思考，促使学生自然生成解题思路。思辨 1：阴影部分是什么图形？选择分别计算还是考虑转化合并整体计算？说说你审题后的判断。思辨 2：扇形的面积如何计算？需要知道哪些量才能算出扇形面积？根据你所得到的初步信息，该题的关键是什么？结合图形分析已知条件，学生不难得出弧 AB=弧 BC，弧 CD=弧 DE，AOB+DOE=BOD=90，两个阴影部分的面积和=扇形 BOD 的面积，在四边形 BODC 中已知BOD=90， BC=4 ， CD=4，点 B，C，D 在以 O 圆心的圆上，目标是要求出 OB，OD。这些信息只需学生根
4、据自己的学习经历，通过已知图形直接感知得到。除此从“题”中获取信息外，还要催促学生从“记忆”中索取信息。思辨 3： AE 是半圆 O 的直径，你能想起与此有关的什么知识？如何在解题中运用？思辨 4：BOD 是圆心角，点 A，B，C，D，E 在圆周上，你又能想起与此有关的什么知识？又能获得哪些有用的结论？思辨 5： BC、 CD 是半圆 O 的两条弦，你又能想起与此有关的什么知识？又如何在解题中运用？从记忆储存中提取与题目有关的信息，作为解题继续进展的依据：圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论，垂径定理及其推论等等，由此让学生意识到下一步要进行的行动。图 12 整合有效信息，探寻求解思路把从题
5、目中捕捉到的有用信息与记忆储存中提取的有关信息结合起来，进行加工、重组和再生，这实质上就是解题思路的探求。根据上面的分析，学生自然建立起已知和目标之间的内在联系和逻辑结构，辅助线的添加思路也会水到渠成，由学生展示解法。解法 1：如图 2，因为弦 AB=BC，弦 CD=DE，所以点 B 是弧 AC 的中点，点 D 是弧 CE 的中点，所以 BOD=90。过点 O 分别作 OFBC，OGCD，垂足分别 F，G,连结 FG,BD，则 BF= BC= ，DG= CD=2。2121设圆 O 的半径为 r，则 OF= ，OG= ，FG= BD= ，8r42r1r2过点 F 作 FHOG,垂足为 H,由FO
6、G =45得 OH=FH= ，GH=8-OF 28-r42 r由勾股定理得 2222 88-r4 xrr化解得 ，所以 。038240)4(2所以 （舍去），因此 S 阴影 =S 扇形 OBD= =10 。,022r思辨 6：解法 1 是从什么信息入手的？顺着这个思路又发现了什么？进一步将问题转化为什么问题？（从弦、垂径定理入手作弦心距 OF，OG，由此发现 FOG=45和 FG 为 BCD 的中位线，FOG 中的三边OF、OG、FG 都可用半径 r 的代数式表示且有一个特殊角 45，所以将问题转化为解三角形的问题，通过直角三角形借力勾股定理列方程思想求解。）思辨 7：所列方程方程复杂吗？作弦
7、心距 OF，OG 还有其它发现吗？解法 2：如图 3，过点 O 作 OF BC 于点 F， OG CD 于点 G，在四边形 OFCG 中， FOG=45，则 FCD=135。过点 C 作 CN OF，交 OG 于点 N，则 FCN=90， NCG=13590=45，所以 CNG 为等腰三角形，所以 CG=NG=2。过点 N 作 NM OF 于点 M，则 MN=FC=2 ，在等腰三角形 MNO 中， NO= MN=4，所以 OG=ON+NG=6。因此在 Rt OGD 中， OD= = =2 ，下同解法 1。思辨 8：在解法 2 中是如何利用FCD=135的信息？还有没有其它的利用方法？（在解法
8、2 中将 135分成 90和 45，一个利用在矩形中，一个利用在等腰直角三角形中。对于 135角，也可转化其补角 45，想图 2FGH图 3到外部构造等腰直角三角形。）解法 3： 如图 4，过点 O 作 OF BC， OG CD，BHCD，垂足分别为 F，G，H，连结 BD。 由 FCD=135得BCH 为等腰直角三角形，所以 BH=CH= BC=4，所以 DH=CD+CH=4+4=8。2因此在 RtBDH 中，BD= ，在 RtBOD 中，OB= BD=2 ， 下同解法 1。54DHB2思辨 9：解法 3 的突破口是什么？还有没有更方便的方法找到该突破口？（其中BCD=135为后面的简洁思路
9、指明方向，关键是发现BCD=135的信息，但是需要作弦心距 OF，OG 可得FOG=45，根据四边形的内角和等于 360得到。）解法 4：如图 5， 连结 OC，则OBC=OCB，ODC=OCD，在四边形 OBCD 中，BOD=90，则OBD+BCD+ODC=270，所以BCD=135，下同解法 3。解法 5：如图 6， 连结 BE，则圆周角定理得BED= BOD=45。21在圆内接四边形 BCDE 中，BCD+BED=180，所以BCD=135，下同解法 3。3 适时反馈过程，适度优化拓展解题是一个可控的系统，为了有效地实现控制，必须要有信息的反馈。反馈解题过程不仅能改进解题的思路和方法，而
10、且能提炼出对解题有指导作用的信息，进一步升华为学生搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力的总和。在解法 3，4，5 中，要求 OB（或 OD）的长则通过 RtBOD，要求 BD 的长则通过 RtBDH，把所要求得线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理来求解线段的长度是一种常用方法。解法 6：如图 7，连结 BE、AD 交于点 F。 根据圆周角定理得BAD=BED= BOD=45，21因为 AE 是半圆 O 的直径，所以ABE=ADE=90。所以ABF、DEF 均为等腰直角三角形，所以 AF= AB=8，DF=DE=4，所以 AD=12。 2因此在 RtADE 中，AB= ，即圆 O 的半径为 2
11、 ，下同解法 1。104DEA2思辨 11：这一解法中是如何想到连结 BE、AD？连结后又有什么好处？（直径 AE 的已知条件与圆中常用的辅助线“见直径想直角”的联系，以及求直径（或半径）的长往往需要将其放到一个直角三角形中，这暗示我们可尝试连结 BE、AD。同时在 RtABE 中 AB 已知，只需求 BE（在 RtADE 中 DE 已知，只需求 AD），并且BAD（DEB）与BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，借助圆周角定理恰好能将先前得到的信息BOD=90图 7F图 4F GH图 6H图 5H沟通起来，顺势而思，自然得法。解法 7：如图 8，连结 OC，连结 AC 交 OB 于点 G，连结
12、 EC 交 OD 于点 H。由题意易得点 B 是弧 AC 的中点，点 D 是弧 CE 的中点，所以 OBAC，ODCE。设圆 O 的半径为 r，OG=CH=a，OH=CG=b，则 BG=r-a，HD=r-b。所以 ，化简得 ，将 代入得 。32ba)-(r16 32ba2r-16 2rbra16-b8 2两式平方相加消去 a,b 得 ，所以 。所以 （舍去），下同解法0480)4(88,42r1。思辨 11：这一解法又是如何找到成功思路的？应用了哪些知识点与方法？（这一解法还是想办法将所要求得线段放在直角三角形中，利用勾股定理来求解。其中“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦”暗示我们可找到
13、直角三角形，这不仅能将要求的线段 OC 放在 RtOCG（或 RtOCH）中，而且已知的边 BC=4 和CD=4 都能放在 RtBCG 和 RtDCH 中，接着借助勾股定理列方程组思想求解。思辨 12：你能利用前面的解题经验类似地对问题进行相应的改变？哪些方法对已知数据或已知关系的依赖是本质的还是非本质的？（例如将半圆改为扇形 AOE，AOE=120，弦 AB=BC=4 ，弦 CD=DE=4，连结3OB， OD，则图中两个阴影部分的面积和为 其中两个阴影部分的面积和与扇形 BOD 的面积的相等关系，BCD 与BOD 的关系 ，把所要求得线段放在一个直角三角形中利用勾股定理来求解BOD21-08
14、C线段的长度，让问题回归常规回归熟悉的转化思想，方程（组）是解决问题中的重要模型等等能作实质性的推广。在这个过程中，也是引导学生体悟问题解决得一般性程序，有利于培养良好的问题解决习惯。）例题教学，不是去寻找万能的解题模式，学生也不是没有思想的“自动运作”的解题机器，而是力图揭示人的思维活动过程和解题的有效途径。在这一过程中以着力弄清楚题意和已掌握的知识、方法为基础，以灵活运用知识为载体，以有效落实“四基”为目标，为学生搭建有依据、有目的、有意识的理性思考和研究讨论的平台，通过由此及彼，由表及里，使思维产生连动性，从而实现信息转换，沟通命题的结论与条件的逻辑关系，引发解题机智，从而揭开数学探究的
15、“神秘面纱”。因此，数学教师有责任在例题教学中深入发掘例题的本质内涵和典型的示范性，进行多途径、多视角的思辨活动，切实为学生构建一个前后一致、逻辑连贯的学习解题的过程，有效体现和提升例题的价值和功能，真正使学生在认识问题的过程中学会捕捉信息，在运用知识的过程中学会整合信息，在解决问题的过程中优化信息，从而感悟数学问题的内在思维力量和提升学生的思维品质。参考文献：1潘红玉.推进思辨活动 彰显示范功能J。中学数学教学参考（中旬），2015（7）：24-26。2白雪峰，王敬如.用数学内在动力培养学生的理性思维能力J。中学数学教育（初中版），2015（4）：53-57。图 8G H3李永明.捕捉、提取、组合、反馈四阶段解题的思维剖析与思考J。中学数学（初中版），2015（7）：87-89。
