1、第十一讲 二次函数及其应用第1课时 二次函数1(2017随州中考)对于二次函数yx 22mx3，下列结论错误的是( C )A它的图象与x轴有两个交点B方程x 22mx3的两根之积为3C它的图象的对称轴在y轴的右侧Dxm时，y随x的增大而减小2在下列二次函数中，其图象对称轴为x2的是( A )Ay(x2) 2 By2x 22Cy2x 22 Dy2(x2) 23二次函数yax 2bxc的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OAOC，则( A )Aac1b Bab1cCbc1a D以上都不是,(第3题图) ,(第4题图)4(2017齐齐哈尔中考)如图，抛物线yax 2bxc(a0)的对称轴为直线x2，
2、与x轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：4ab0；c0；3ac0；4a2bat 2bt(t为实数)；点 ， ， 是该抛物线上的点，则 y1y 2y 3，正确的个数有( B )(92， y1) ( 52， y2) ( 12， y3)A4个 B3个 C2个 D1个 5(2017安顺中考)二次函数yax 2bxc(a0)的图象如图，给出下列四个结论：4acb 20；3b2c0；4ac2b；m(amb)ba(m1)，其中结论正确的个数是( C )A1 B2 C3 D4,(第5题图) ,(第6题图)6如图为二次函数yax 2bxc(a0)的图象，则下列说法：a0；2
3、ab0；abc0；当1x3时，y0其中正确的个数为( C )A1 B2 C3 D47若抛物线y(xm) 2(m1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( B )Am1 Bm0Cm1 D1m08(2017扬州中考)如图，已知ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数yx 2bx1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( C )Ab2 Bb2Cb2 Db29(2017枣庄中考)已知函数yax 22ax1(a是常数，a0)，下列结论正确的是( D )A当a1时，函数图象经过点(1，1)B当a2时，函数图象与x轴没有交点C若a0，函数图象的顶点始终在
4、x轴的下方D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大10(2017鄂州中考)如图抛物线yax 2bxc的图象交x轴于A(2，0)和点B，交y轴负半轴于点C，且OB OC. 下列结论：2bc2；a ；acb1； 0.其中正确的个数有( C )12 a bcA1个 B2个C3个 D4个11(2017陕西中考)已知抛物线yx 22mx4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上，则点M的坐标为( C )A(1，5) B(3，13)C(2，8) D(4，20)12抛物线yx 22x3的顶点坐标是_(1，2)_13二次函数y x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B
5、，C在二次函数y x2的图象3 3上，四边形OBAC为菱形，且OBA120，则菱形OBAC的面积为_2 _3,(第13题图) ,(第14题图)14(2017乌鲁木齐中考)如图，抛物线yax 2bxc过点(1，0)，且对称轴为直线x1，有下列结论：abc0；10a3bc0；抛物线经过点(4，y 1)与点(3，y 2)，则y 1y 2；无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点 ；am 2bma0，其中所有正确的结论是_(ca， 0)15(2017鹤岗中考)如图，已知抛物线yx 2mx3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，抛物线与直线y x3交于C，D两点连结BD，AD
6、.32(1)求m的值；(2)抛物线上有一点P，满足S ABP 4S ABD ，求点P的坐标解：(1)抛物线yx 2mx3过(3，0)，093m3，m2；(2)由 y x2 2x 3，y 32x 3， )得 x1 0，y1 3， )x2 72，y2 94， )D .(72， 94)S ABP 4S ABD ， AB|yP|4 AB ，12 12 94|y P|9，y P9，当y9时，x 22x39，无实数解，当y9时，x 22x39，x11 ，x 21 ，13 13P(1 ，9)或(1 ，9)13 1316(2017随州中考)在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa为抛物线yax 2bxc(a，
7、b，c为常数，a0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”备用图已知抛物线y x2 x2 与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C233 433 3.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的表达式为_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E
8、，F的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)y x ；(2，2 )；(1，0)；233 233 3(2)如答图，过A作ADy轴于点D.答图在y x2 x2 中，令 y0可求得x3或x1，233 433 3C(3，0)，且A(2，2 )，3AC .（ 2 3） 2 （ 23） 2 13由翻折的性质可知ANAC ，13AMN为梦想三角形，N点在y轴上，且AD2.在 RtAND中，由勾股定理可得DN 3，AN2 AD2 13 4OD2 ，3ON2 3或ON2 3，3 3N点坐标为(0，2 3)或(0，2 3)；3 3(3)当AC为平行四边形的边时，如答图，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，
9、答图则有ACEF且ACEF，ACKEFH.在ACK和EFH中， ACK EFH， AKC EHF，AC EF， )ACKEFH( A.A.S.)，FHCK1，HEAK2 ，3抛物线对称轴为直线x1，F点的横坐标为0或2.点F在直线AB上，当F点横坐标为0时，则F ，(0，233)此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EHOF2 ，即E点纵坐标为 ，3233 433 433E ；( 1， 433)当F点的横坐标为2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时，C(3，0)，且A(2，2 )，3线段AC的中点坐标为(2.5， )3设E(1，t)，F(x，y)，则x12(2.5)
10、，yt2 ，3x4，y2 t，3代入直线AB表达式可得2 t (4) ，解得t ，3233 233 433E ，F ；( 1， 433) ( 4， 1033 )综上可知存在满足条件的点F，此时E ，F 或E ，F .( 1， 433) (0， 433) ( 1， 433) ( 4， 1033 )17(2017白银中考)如图，已知二次函数yax 2bx4的图象与x轴交于点B(2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数yax 2bx4的表达式；(2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连
11、结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系解：(1)将点B，点C的坐标分别代入yax 2bx4，得 解得4a 2b 4 0，64a 8b 4 0， ) a 14，b 32， )二次函数的表达式为y x2 x4；14 32(2)设点N的坐标为(n，0)(2n8)，则BNn2，CN8n.B(2，0), C(8，0)，BC10.在y x2 x4中，14 32令x0，解得y4，点A(0，4)，OA4，MNAC， .AMAB NCBC 8 n10OA4，BC10，S ABC BCOA 10420.12 12S ABN BNOA (n2)42(n2)，12 12又 ，S AMNS ABN AMAB
12、CNCB 8 n10S AMN SABN (8n)(n2)8 n10 15 (n3) 25.15当n3时，即N(3，0)时，AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点M为AB边中点，OM AB.12AB 2 ，OB2 OA2 4 16 5AC 4 ，OC2 OA2 64 16 5AB AC，12OM AC.14第2课时 二次函数的应用1图是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y (x80) 216，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴，1400若OA10 m，则桥面离水面的高度AC为(
13、 B )图 图A16 m B. m940 174C16 m D. m740 1542如图，抛物线yax 2bxc(a0)过点(1，0)和点(0，3)，且顶点在第四象限，设Pabc，则P的取值范围是( B )A3P1 B6P0C3P0 D6P33赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y x2，当水125面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( C )A20 m B10 mC20 m D10 m4在平面直角坐标系中，将抛物线y x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线的表达式12( A )Ay x2x By x2x12 32 12 3
14、Cy x2x Dy x2x3 3 3 35(2017江汉中考)飞机着陆后滑行的距离s(单位： m)关于滑行的时间t(单位： s)的函数表达式是s60t t322，则飞机着陆后滑行的最长时间为_20_ s.6九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表：售价(元/件) 100 110 120 130 月销量(件) 200 180 160 140 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元(1)请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是_元；月销量是_件；(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？解：(
15、1)(x60)；(2x400)；(2)由题意，得y(x60)(2x400)2x 2520x24 0002(x130) 29 800，售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9 800元7(2017随州中考)某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x(天)
16、 1x9 9x15 x15售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格销量(斤) 803x 120x 储存和损耗费用(元) 403x 3x264x400(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？解：(1)设该种水果每次降价的百分率是x.10(1x) 28.1，x10%或x190%(舍去)答：该种水果每次降价的百分率是10%；(2)当1x9时，第1次降价后的价格：10(110%)9(元)，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352，17.70，y随x的增大而减小，当x1时，y有最大值，y
17、大 17.71352334.3(元)，当9x15时，第2次降价后的价格：8.1元，y(8.14.1)(120x)(3x 264x400)3x 260x803(x10) 2380，30，当9x10时，y随x的增大而增大，当10x15时，y随x的增大而减小，当x10时，y有最大值，y大 380(元)，综上所述，y与x(1x15)之间的函数关系式为：y 17.7x 352（ 1 x 9） ， 3x2 60x 80（ 9 x 15） ， )第10天时销售利润最大；(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意，得380127.5(4a)(12015)(315 26415400)，25251
18、05(4a)115，a0.5.答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元8(2017葫芦岛中考)五一期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1 000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数：y4x220(10x50，且x是整数)，设影城每天的利润为w(元)(利润票房收入运营成本)(1)试求w与x之间的函数关系式；(2)影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得w(4x220)x1 0004x 2220x1 000；(2) w4x 2220x1 0004(x27.5) 22 025，
19、当x27或28时，w取得最大值，最大值为2 024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2 024元9(2017扬州中考)农经公司以30元/ kg的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p( kg)与销售价格x(元/ kg)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格x(元/ kg) 30 35 40 45 50日销售量p(kg) 600 450 300 150 0(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每
20、销售1 kg这种农产品需支出a元(a0)的相关费用，当40x45时，农经公司的日获利的最大值为2 430元，求a的值(日获利日销售利润日支出费用)解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为pkxb，则 解得30k b 600，40k b 300， ) k 30，b 1 500， )p30 x1 500，检验：当x35，p450；当x45，p150；当x50，p0，符合一次函数表达式，所求的函数表达式为p30x1 500；(2)设日销售利润wp(x30)(30x1 500)(x30)即w30x 22 400x45 000，当x 40时，w有最大值3 000元，2 4002（ 30）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；(3)日获利wp(x30a)(30x1 500)(x30a)，即w30x 2(2 40030a)x(1 500a45 000)，对称轴为x 40 a，2 400 30a2（ 30） 12若a10，则当x45时，w有最大值，即w2 250150a2 430(不合题意)；若a10，则当x40 a时，w有最大值，12将x40 a代入，可得w30 ，12 (14a2 10a 100)当w2 430时，2 43030 ，(14a2 10a 100)解得a 12，a 238(舍去)综上所述，a的值为2.
