1、 第十九讲 向量与圆锥曲线（二）【例 5】设 F1、F 2分别是椭圆 142yx的左、右焦点.（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 12PF的最大值和最小值 ;（）设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.解：（）解法一： 易知 2,3abc ，所以 123,0,F，设 ,Pxy，则 2123,PFxyxy 2221384x因为 ,x，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时， 12PF有最小值-2当 x=2，即点 P 为椭圆长轴端点时， 12F有最大值 1解法二：易知 ,13abc，所以 2
2、3,0,，设 ,xy，则221112121212osPFFFP222333xyxyxy （以下同解法一）（）显然直线 0不满足题设条件，可设直线 122:,lkAxyB，联立 214ykx，消去 y，整理得： 221430kx 12123,4xxkk由 2240得： 32k或 又 009cosABABO， 120AOBxy又 212121124ykxkxx223841k21k223014k，即 24k k故由、得 32或【例 6】已知椭圆 1xy的左、右焦点分别为 1F、 2，过 1的直线交椭圆于 B、 D两点，过 2F的直线交椭圆于 A、 C 两点，且 BD，垂足为 P. （）设 P 点的坐
3、标为 0(,)xy，证明：2013xy；（）求四边形 ABCD 的面积的最小值。（）证明: 椭圆的半焦距 21c，由 ACBD 知点 P在以线段 2F为直径的圆上，故 201xy，所以，220013xy（） （）当 B的斜率 k存在且 时， BD的方程为 ()ykx，代入椭圆方程213xy，并化简得 22(3)630k设 1()Bxy， ， 2()D， ，则：212x，21kx，222212 143(1)()()kkk；因为 AC 与 BC 相交于点 P，且 AC 的斜率为 所以，2214343(1)kkACB1FO2PDAyxC四边形 ABCD 的面积 2 2214(1)(1)9623353
4、kkSBDAC 当 k2=1 时，上式取等号（）当 BD 的斜率 k=0 或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 S=4综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为 9625【例 7】已知两定点 12,0,F，满足条件 21PF的点 P 的轨迹是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A,B 两点。如果 3AB，且曲线 E 上存在点 C，使OABmC，求 m 的值和 ABC 的面积 S。由双曲线的定义可知，曲线 是以 12,0为焦点的双曲线的左支，且 2,ca，易知 b，故曲线 的方程为 21xy设 12,xy，由方程组 2ykx消去 ，得 0kx又已知直线与双曲线左支交于两点 ,AB，
5、有212080kxk解得 21k又 212ABx 22114kxx242k依题意得 2163k整理后得 42850 257k或 24 但 1k k故直线 AB的方程为 50xy设 ,cCxy，由已知 OBmC，得 12,cxymxy 1212,， 又 1245kx， 21212281kykx点 458,Cm，将点 C的坐标代入曲线 E的方程，得 280641m 得 ，但当 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ， 点的坐标为 5,2， 到 AB的距离为 2531 ABC的面积 1632S.【例 8】已知函数 ykx与 (0)x 的图象相交于 1()Axy， ， 2()Bxy， ， 1l，2
6、l分别是 2(0) 的图象在 AB， 两点的切线， MN， 分别是 1l， 与 轴的交点（I）求 k的取值范围；（II）设 t为点 M的横坐标，当 12x时，写出 t以 1x为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较 O与 N的大小，并说明理由（ O是坐标原点） 解：（I）由方程 2ykx，消 y得 20xk 依题意，该方程有两个正实根，故218xk，解得 2k（II）由 ()2fx，求得切线 1l的方程为 1()yy，由 21y，并令 0y，得 12xt1x， 2是方程的两实根，且 12，故21 2848kk， 2k，1是关于 k的减函数，所以 1x的取值范围是 (0)， t是关
7、于 1x的增函数，定义域为 (2)， ，所以值域为 )， ，（III）当 12时，由（II）可知 12xOMt类似可得 21xON 1212xxMON由可知 12从而 0当 2x时，有相同的结果 所以 ON自我提升1、平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知 A（3，1） ，B（-1，3） ，若点 C 满足BAOC，其中 R，且 =1，则点 C 的轨迹方程为( D )A 3 x+2y-11=0 B( x-1)2+(y-2)2=5 C 2 x-y=0 D x+2y-5=02、已知 ji,是 x,y 轴正方向的单位向量，设 a= jix, b= ji)2(,且满足| a|+|b|=4.则点 P(x
8、,y)的轨迹是.( C )A椭圆 B双曲线 C线段 D射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，5 2)的椭圆被直线 3x y2=0 截得的弦的中点的横坐标为 21，则椭圆方程为 (C )222. B.1.1 D.15775575xyxyxy4、直线 y=kx+1与椭圆 m恒有公共点，则m的取值范围是（A）.A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知 ji,是 x,y 轴正方向的单位向量，设 a= jyix)3(, b= jyix)3(,且满足| a|-|b|=2.则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为_.( 210).6已知 A、B 为抛物线 x2=2py (p0)上两点，直线 AB
9、过焦点 F，A、B 在准线上的射影分别为 C、D，则y 轴上恒存在一点 K，使得 0A； DC；存在实数 使得 O；若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T，有 。中说法正确的为_7.已知椭圆21xy，过 P(1,0)作直线 l，使得 l 与该椭圆交于 A,B 两点， l 与 y 轴的交点为 Q，且 AB，求直线 l 的方程。xyF120ABCD解：直线 l 过 P(1,0)，故可设方程为 y=k(x-1)， 因为 AQPB，所以 AB 的中点与 PQ 的中点重合.由 21()xyk得(1+2 k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以 241ABxk，又 xP+xQ=1 故 2k得
10、 2，所求的直线方程为 2(1)yx。8已知椭圆 )5(1myx过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、 B、 C、 D，设 f(m)=|AB|-|CD|,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。解：（1）椭圆 2中， a2=m， b2=m-1， c2=1，左焦点 F1(-1,0)则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即( m-1)x2+my2-m(m-1)=0得( m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2 m-1)x2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )5(1212)()()1BADCADf xm（2） )()mf当 m=5 时， 90(inf 当 m=2 时， 324(maxf
