1、平 方 相 加 法 在 三 角 中 的 应 用(江苏省射阳中学 224300 ) 平方法是一种重要的转化手段.在三角问题中, 若条件中含有正余弦函数的和差形式 (尤其是正余弦以对偶形式出现), 采用两式平方后相加( 不妨说成平方相加法 )可以快捷解决三角中的求值、证明等问题.一.求三角函数值例 1.已知 、 为锐角, , ,求 .21sin21cos)tan(分析:利用已知条件中正余弦出现的形式 ,可采用平方相加法,先求出 ,再利用cs同角三角函数关系求解.解:将已知两式平方相加得: , .21)cos(243)cos(由 、 为锐角, .又由 ,得021sin, ,247)i(3)cos(i
2、n)tan(例 2.已知 , ,求0sini10cosincso1.si分析:条件看起来比较复杂,但注意到要求的是 的正弦,应设法消去 的三角函数. 解:由已知条件得: ,cos1sin)1(cos1s)in(两式平方相加得: 222 c)(即 ,03si2in3所以 ( ,舍去)11in二.求取值范围(或最值)例 3.已知 ,求 的取值范围.2cosinyxyxsinco分析:若令 ,它与条件一起构成了漂亮的对偶式,进而采用平方相加法.ti解: 令 ,则tyxsinco 21)cos(in)si(co22 tyxyx即 , ,1i(2t 43由 得: 1|)sin|yx24t所以 的取值范围为 .ico1,三.证明三角恒等式例 4.已知 , ,求证: .yxatnse xybtansec 22bay分析:观察所证式只含字母 x、 y、a 、b,对照条件要消去角 的三角函数.由平方关系,两边同除以 得 ,对条件整理后,采用平方相1cosin222o22sect1加法.解:由已知条件得: ,tnsectanyxb两式平方相加整理得: )1)()( 2222 xba,0sect122yx
