1、第一章 信号和系统,1.1 绪论,一、信号的概念 消息(message)：常常把来自外界的各种报道统称 为消息。信息(information)：通常把消息中有意义的内容称 为信息。信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是 系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。信号是信息的载体，通过信号传递信息。,二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等。,1.
2、2 信号的描述和分类,一、信号的描述 1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。,二、信号的分类1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性,连续时间信号：在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实
3、际中也常称为数字信号。,2. 连续信号和离散信号,通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。,3. 周期信号和非周期信号,周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号。 (在较长时间内重复变化) 连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)， 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期
4、信号。,例1.2.1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。,（1） sin2t 是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t 是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号
5、，其周期为T1和T2的最小公倍数2。,（2） cos2t 和sint的周期分别为T1= s， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。 结论： 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。,4能量信号与功率信号,信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f (t)在欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|，在时间区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为：能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限大。,特点：信号 f (t)可以是一个既非功
6、率信号，又非能量信号，如单位斜坡信号。但一个信号不可能同时既是功率信号，又是能量信号。周期信号都是功率信号；非周期信号可能是能量信号 t, f (t)=0, 也可能是功率信号 t, f (t)0。,5一维信号与多维信号 信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。6因果信号 若当 t 0 时 f (t) 0的信号,称为因果信号。 而若t 0 ，t 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。 注意非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。,1.2 信号的基本运算,一、信号的、运算 两信号f1() 和f2 ()的相 、指同一时刻两信号之值对应相加
7、减乘。如,二、信号的时间变换运算,1. 平移 将f (t) f (t + t0) ， f (k) f (t + k0)称为对信号f ()的平移或移位。若t0 (或k0)1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a,压缩,（2）0a 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a。,扩展,对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。,例1.3.1已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(2-t)的波形解：平移与反转相结合，注意：是对t
8、的变换！,法一：先平移f (t) f (t +2) 再反转f (t +2) f ( t +2)法二：先反转f (t) f ( t) 再平移f ( t) f ( t +2),例1.3.2 （1）已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(-2t-4)的波形解：平移、反转、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t 进行,法一：也可以先平移、再压缩、最后反转,法二：也可以先压缩、再平移、最后反转,（2）若已知f ( 4 2t) ，画出f (t) 。 解：,三、信号的微分和积分1、微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即2、积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在（-，
9、t）区间内的定积分，表达式为：,结论：（1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用；（2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响。,1.4 阶跃信号和冲激信号一、典型的连续时间信号,信号将随时间而增长,信号将随时间而衰减；,信号不随时间而变化，为直流信号,（对时间的微、积分仍是指数）,（对时间的微、积分仍是同频率正弦）,正弦信号是周期信号，其周期T与角频率w 和频率f满足下列关系式：,（2）正弦信号：,实部、虚部都为正（余）弦信号，指数因子实部表征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，表示信号随角频率
10、变化的情况。,(3)复指数信号,Sa(t)具有以下性质：,(4)抽样信号,（高斯函数）,钟形信号在随机信号分析中占有重要地位。,二、单位阶跃函数 1、定义,u(t),u(t)= 0 ， （t0）,（采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数 ）,2、阶跃函数的性质：（1）可以方便地表示某些信号 eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,三、单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。 1、定义：,面积为1,2、冲激函数与阶跃函数关系:,加权特性,抽样特性,3、性质：,单位冲激函数
11、为偶函数,2、(t) 的尺度变换,这里 a 和 t0为常数，且a0。,3、 冲激函数的导数(t) （也称冲激偶）,（1）定义： 称单位二次冲激函数或冲激偶。,（2）冲激偶的性质,冲激偶的抽样特性:,冲激偶的加权特性:,冲激偶(t)是 t 的奇函数:,四、序列(k)和 u(k)（1）单位(样值)序列(k)的定义：,取样性质：,（2）单位阶跃序列u(k)的定义,（3）u(k)与(k)的关系 (k) = u(k) u(k 1) u(k) = (k)+ (k 1)+,u,u,五、信号的分解信号从不同角度分解： 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量 利用分形理论
12、描述信号,1、直流分量与交流分量,其中fD为直流分量即信号的平均值；,直流分量fD与交流分量fA(t):,2、偶分量与奇分量,（1）一种分解为矩形窄脉冲分量：,3、脉冲分量,（2）另一分解为阶跃信号分量之叠加。,4.实部分量与虚部分量,对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。,其实部为：,其复数信号的模为：,其虚部为：,5、正交函数分量,用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的。,1.5 系统的性质及分类,一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。二、系统的分类及性质 1. 连续系统与离散系统 输入和输出均为连续
13、时间信号的系统称为连续时间系统。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。 连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。,2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。3. 线性系统与非线性系统 能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。 不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。,4. 时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为时不变系统。时不
14、变性质: 若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间， 即若T0，f(t) = yf(t)， T0，f(t - td) = yf(t - td)。,5、 因果系统与非因果系统 激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统 即对因果系统，当t t0 ，f(t) = 0时，有t t0 ，yf(t) = 0。如：下列系统均为因果系统：yf(t) = 3f(t 1) 而下列系统为非因果系统： (1) yf(t) = 2f(t + 1)， 因为，令t=1时，有yf(1) = 2f(2) (2) yf(t) = f(2t)，因为，若f(t) = 0， t t0 ，有yf(t) =
15、f(2t)=0, t 0.5 t0 。 也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励如e(t+1)，那么系统就是因果的。,6. 稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。 即若f(.)，其yf(.)0；当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应y2(t) = 2 +3 cos(t)，t0；求输入f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应。解：设当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。 当x(0-) =2，输
16、入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。,由题中条件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = + cos(t)，t0 （1） y2(t)= y2x(t) + y2f(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性 y2x(t) = 2y1x(t)， y2f(t) =3y1f(t)，,代入式（2）得y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （3）式(3) 2式(1)，得y1f(t) = 4 + cos(t)，t0由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)
17、的零状态响应，故当t0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成y1f(t) = 4 + cos(t)u(t) (4),根据LTI系统的微分特性 = 3(t) + 4 sin(t)u(t)根据LTI系统的时不变特性f1(t1) y1f(t 1) = 4 + cos(t1)u(t1)由线性性质，得：当输入f3(t) = +2f1(t1)时，y3f(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4 sin(t)u(t)+ 24 + cos(t1)u(t1),1.6 系统的描述 描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。一、连续系统1. 解析描述建立数学模型补充
18、： KVL可描述为：对于任一网络中的任一回路，在任一时刻，沿该回路的所有电压降的代数和恒等于零。u =0 。,对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由 KVL和 VAR列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程。,2. 系统的框图描述 上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。 将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。 积分器：,加
19、法器： 数乘器：,例1.6.1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t) = f(t) ay(t) by(t),例1.6.2：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程。,例1.6.3：已知框图，写出系统的微分方程。 解：设辅助变量x(t)如图x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2
20、x(t) + 3x(t) = f(t)y(t) = 4x(t)+ 3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t),二、离散系统1. 解析描述建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/元，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。,所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。
21、 未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。 由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 描述LTI系统的是线性常系数差分方程。,2. 差分方程的模拟框图 基本部件单元有：数乘器，加法器，迟延单元（移位器） 迟延单元,例1.6.4：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图 x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2),1.7
22、 LTI系统分析概述 系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。一、分析方法系统的分析方法：输入输出法（外部法） 状态变量法（内部法）外部法 ：时域分析（用经典的方法求解微分方程和差分方程。） 变换域法 连续系统频域法和复频域法，离散系 统z域法,二、求解思路（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换（4）Z变换,本章总结：1、信号和系统的概念 2、信号的分类 ，信号的基本运算、变换运算 3、阶跃函数u(t)和冲激函数(t) 的性质以及相互关系4、系统的性质及分类 5、LTI系统的判别6、系统的描述：建立数学模型、系统的框图描述7、LTI系统分析方法,
