正弦定理证明(共5页).doc

一、正弦定理的几种证明方法abDABC1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。由此，得 ，同理可得 ， 故有 .从而这个结论在锐角三角形中成立.ABCDba（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有， 。由此，得 ，同理可得 故有 .由(1)(2)可知，在ABC中， 成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即.2.利用三角形面积证明正弦定理DCBA已知ABC,设BCa, CAb,ABc,作ADBC,垂足为D.则RtADB中, ,AD=ABsinB=csinB.SABC=.同理,可证 SABC=. SABC=.absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.