1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -2009 年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 若 a0， 1 ，则 (D)2log()bAa 1,b0 Ba1,b 0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02对于非 0 向时 a,b,“a/b”的确良 （A）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数 y=sinx 的图象向左平移 0 2 的单位后，得到函数 y=sin 的图()()6x象，则
2、 等于 （D）A B C. D.65676164如图 1，当参数 时，连续函数 的图像分别对应曲线 和 , 2(0)1xy1C2则 BA B 1010C D 225.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CA 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知 D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域 D 内203xy 24xy的弧长为 BA B C D424327正方体 ABCD 的棱上到异面直线 AB，C 的距离相等的点的个数为（C）1A1D1A2 B3 C. 4 D.
3、5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -8.设函数 在（ ，+ ）内有定义。对于给定的正数 K，定义函数()yfx(),kfxKf取函数 = 。若对任意的 ，恒有 = ，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()fx12e(,)()kfxAK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2C K 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 【D】二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动
4、都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_10在 的展开式中， 的系数为_ _7_(用数字作答)323(1)()(1)xxx11、若 x(0, )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12、已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60 ，o则双曲线 C 的离心率为 6213、一个总体分为 A，B 两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个数数位 50 。2814、在半径为 13 的球面上有 A ,
5、B, C 三点，AB=6，BC=8 ，CA=10，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1 ）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2 ）过，B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 15、将正ABC 分割成 （ 2 ，nN）个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n
6、+1)10316(n+2)高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）在 ，已知 ，求角 A，B，C 的大小。ABC2233ABC解：设 ,abc由 得 ，所以232os3bc3os2又 因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (0,)A6由 得 ，于是233BC23bca23sinsin4CBA所以 ， ，因此5sin()6413si(coi)2，既22ico3sin,is0sin(2)03C由 A= 知 ，所以 ， ，从而6506C43C或 ，既 或 故
7、,32,3,62,或 。ABAB17.（本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 、 、 ，现在 3 名工人独立地从1236中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -解: 记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,
8、, ，i=1，2，3.由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立，ABC1A231B231C23, , （i，j，k=1，2 ，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且 P（ ）=，P （ ）1 A1B= ，P（ ）=316（1 ） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（ ）=6P（ ）P（ ）P（ ）=6 =1A2B3C1A2B3C126(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已知， -B（3， ） ，1且 =3 。所以 P（ =0）=P（ =3）= = ，13C()27P（ =1）=P （ =2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2
9、9P（ =2）=P （ =1）= =13()24P（ =3）=P （ =0）= = 0C87故 的分布是0 1 2 3P 1272949827的数学期望 E =0 +1 +2 +3 =2487解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 ，1Di=1,2,3 ，由此已知， D， 相互独立，且11P（ ）-（ ， ）= P（ ）+P（ ）= + =1D1ACC2163所以 - ,既 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2(3)B3()()KK0,.k高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -故 的分布列是01 2 3p127294982718.（
10、本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱 中，1ABCABD 是 的中点，点 E 在 上，且 。1ABDE（I） 证明平面 平面 1（II） 求直线 和平面 所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ABC解 （I） 如图所示，由正三棱柱 的性质知 平面1ABC1A1BC又 DE 平面 A B C ，所以 DE AA .1而 DE AE。AA AE=A 所以 DE 平面 AC C A ，又 DE 平面 ADE，故平面 ADE 平面1AC C A 。1（2 ） 解法 1 如图所示，设 F 使 AB 的中点，连接 DF、DC、CF，由正三棱柱 ABC- A B C1的性质及 D 是
11、 A B 的中点知 A B C D， A B DF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1111又 C D DF=D，所以 A B 平面 C DF，而 AB A B，所以1AB 平面 C DF，又 AB 平面 ABC，故高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -平面 AB C 平面 C DF。11过点 D 做 DH 垂直 C F 于点 H，则 DH 平面 AB C 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1连接 AH，则 HAD 是 AD 和平面 ABC 所成的角。1由已知 AB= A A ，不妨设 A A = ，则 AB=2，DF= ，D C = ，212213C
12、F= ，AD= = ，DH= = ，1521D3FC150所以 sin HAD= = 。AH50即直线 AD 和平面 AB C 所成角的正弦值为 。1510解法 2 如图所示，设 O 使 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A = ，则 AB=2，相关各点的坐标分别是1A(0,-1,0)， B（ ，0 ，0） ， C （0，1 ， ） ， D（ ，- ， ） 。32321易知 =( ，1，0)， =(0，2， )， =( ，- ， ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A1AA设平面 ABC 的法向量为 n=（x，y，z）,则有1,0231zyACnxB解得 x=-
13、y， z=- ，3故可取 n=(1，- ， )。6所以， (n )= = = 。cosADn31025高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -由此即知，直线 AD 和平面 AB C 所成角的正弦值为 。151019.（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥m面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工x程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，(2)x记余下工程的费用为 万元。y（）试写出 关于 的函数关系式；（）当 =640 米时，需新
14、建多少个桥墩才能使 最小？my解 （）设需要新建 个桥墩，n(1)1mxx， 即 n=所以 (2)xy=f(x)256+256(-)+.x（） 由（）知， 233221()(51).mfx令 ，得 ，所以 =64()0fx3251x当 00. 在区间（64，640）内为增函数，64x所以 在 =64 处取得最小值，此时，()fx 64019.mnx故需新建 9 个桥墩才能使 最小。y20（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0 ）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点运动时， d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和
15、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求点 P 的轨迹 C；（）设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。解（）设点 P 的坐标为（ x，y） ，则3x-224(3)dxy由题设 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -当 x2 时，由得 21(3)6,xyx化简得 21.67y当 时 由得x2(3)3,xyx化简得 21y故点 P 的轨迹 C 是椭圆 在直线 x=2 的右21:367xy侧部分与抛物线 在直线 x=2 的左侧部分（包2:括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1（）如图 2 所示，易知直线 x=
16、2 与 ， 的交点都是1C2A（2 ， ） ，6B（2， ） ，直线 AF，BF 的斜率分别为 = ， = .AFk6BFk2当点 P 在 上时，由知1C. 62Fx当点 P 在 上时，由 知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3x若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 (3)ykx（i）当 k ，或 k ，即 k-2 时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ ， ） ，AFBF61xyN（ ， ）都在 C 上，此时由知2xy1MF= 6 - NF= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12x从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - (
17、 + )12x1x2由 得 则 ， 是这个方程的两根，所2(3)167ykx22(4)308kxk1y高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -以 + = *MN=12 - （ + ）=12 - 1x2243k12x22134k因为当 6,4,k或 时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22110.3MNk当且仅当 时，等号成立。26k（2 ）当 时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点,26AEANk分别在 上，不妨设点 在 上，点 上，则知，12(,)()Mxy1,CM12126,3Fx设直线 AF 与椭圆 的另一交点为 E 0012(,),.yx则1032xFNAF所
18、以 。而点 A，E 都在 上，且MNFA 1C有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6,AEk 10,1EM所 以若直线 的斜率不存在，则 = =3，此时x2102()9N综上所述，线段 MN 长度的最大值为 121.（本小题满分 13 分）对于数列 若存在常数 M0,对任意的 ，恒有 nunNw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1121.n u则称数列 为 B-数列n（1 ） 首项为 1，公比为 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由;()q请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；高考资源网（） 您身边的高考专家
19、版权所有高考资源网- 10 -（2 ） 设 是数列 的前 项和，给出下列两组论断；nSnxA 组：数列 是 B-数列 数列 不是 B-数列nxB 组：数列 是 B-数列 数列 不是 B-数列n S请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3 ） 若数列 都是 数列，证明：数列 也是 数列。,nabBnabB解（1）设满足题设的等比数列为 ,则 ，于是n1q212,nnq因此 - + - + - =1ana12a121(.).nqq因为 所以 即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,q2. ,nqq1121.nnaaa故首项为 1，公比为 的等比数列是 B-数列。q()（2 ）命题 1：若数列 是 B-数列，则数列 是 B-数列nxnS次命题为假命题。事实上，设 ，易知数列 是 B-数列，但,nNnxnS1121.nSS由 的任意性知，数列 是 B-数列此命题为。命题 2：若数列 是 B-数列，则数列 是 B-数列nnx此命题为真命题事实上，因为数列 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 有nS 1,nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1121.nS
