1、- 1 -运用“双向表”求解古典概型问题研究314300 浙江海盐元济高级中学 卢明1问题的提出列举法是解高中数学古典概型问题的常用方法按照参变量的个数分类，列举法可以分为一维列举、二维列举乃至多维列举例如， “同时掷 2 颗骰子，求向上的数字之积大于 6 的概率”就是一个“二维列举”的问题此类问题，通常采用“实数对”的方法来列举、求解然而，随着基本事件个数的增加， “实数对”法列举时非常容易遗漏情况，从而导致出错“双向表”是教育统计学中研究双变量问题的一种常用工具表格的横标目表示一个变量的情况，纵标目表示另一个变量的情况，表格的中间部分表示两个变量所满足的某种关系 （见表 1）笔者借助这一工
2、具，尝试求解“二维列举”型古典概率问题，起到了事半功倍的效果2 “双向表”的基本应用例 1 将一个骰子先后掷 2 次，向上的数字之和等于 6 的概率是多少？分析：这是一个“二维列举”问题，满足条件的基本事件可以用“实数对”来列举：， ， ， ， ，共 5 种本题中的基本事件总数为 种，)5,(,)4,(,)3,( 361C于是，所求的概率等于 65下面介绍怎样用“双向表”来求解解：记第一次掷的点数为 ，)6,5432,1(x第二次掷的点数为 ，),(yyx则 的取值情况见“双向表” （表 2） 因为掷骰子时，骰子的每个面向上的可能性都是相等的，即为等可能事件又两次掷骰子是互相独立的，所以， 所
3、取到的每一个值也是等可能的故两次掷得的向上的数字之和等于 6 的概率为：365)(P横标目纵标目两个变量满足的某种关系xy1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12（表 1）发表于上海中学数学2011 年第 1期（表 2）- 2 -点评：以上解法，所有的基本事件都已经在“ 双向表”中列出，由于 取到表内的各数值是等可能的，所以，计算基本事件个数只要数一下表内相 应数字的个数就可以了如果将题目改成“将一个骰子先后掷 2 次，求向上的数字之和大于 6
4、的概率”，那么，用“双向表”法明显比用“实数对” 法要简捷得多，且列举时可以避免遗漏现象例 2（09浙江理样卷 19）甲从装有编号为 1，2，3，4，5 的卡片的箱子中任取一张，乙从装有编号为 2，4 的卡片中任取一张用 、 分别表示甲、乙取得的卡片上的数字（1）求概率 ；（2）记 ，求 的分布列与数学期望)(1P212,解：（1）记“ ”为事件 ，则 的发生A情况见“双向表” （表 3） 因为甲、乙抽卡片抽到的结果是等可能事件，所以表内的 10 个结果出现的情况也是等可能的记“”表示满足 ， “”表示不满足21于是 504)(AP（2）由题意， ，则 ，见（表 4） ，21,max5,3的分
5、布列为：，502)(，13P，2)4(50137E点评：“双向表” 中横向、纵向两个变量的取值个数可以是不同的；“双向表”中所填的数据也不一定是两个变量的运算结果，如两个变量的“ 和”、 “积” 等，它们可以是两个变量大小比较的结果例 3（04浙江理 18）盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取121 2 3 4 52 4 121 2 3 4 52 2 2 3 4 54 4 4 4 4 5（表 3）（表 4）- 3 -1 个球（假设取到每个球的可能性都相同） ，记第一次与第
6、二次取到球的标号之和为 （1）求随机变量 的分布列；（2）求随机变量 的期望 E解：（1）记第一次抽到的标号为 ，第二次)5,21(x抽到的标号为 ， 则 的取值情况)5,21(yy见“双向表” （表 5） 依题意得，取到 1 号球、2 号球和 5 号球的概率分别是 、 和 ，所以，表 510352内 的取值不是等可能的，故不能用“数个数”的方法来计算基本事件的个数但我们可以用排列组合的思想来计算基本事件的个数随机变量 的分布列为：，109)2(103CP，256)(1043，)4(104CP，592)6(103，6)7(1034CP9)10(103（2）略点评：如果“双向表” 中所列出的基本
7、事件（数据）不是可能性的，则必须用排列组合的方法来求基本事件的个数在求 的分布列时， 诸如 中的系数“ ”10432)(CP2xy1 2 51 2 3 62 3 4 75 6 7 10（表 5）- 4 -表示“双向表”中基本事件“ ”出现的次数（下同）3错解：由“双向表”得，随机变量 的分布列为： ， ，91)2(P92)3(， ， ， 91)4(P92)6(92)7(P0例 4（06安徽卷理 19）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方案作比较在试制某种牙膏新品种时，需要两种不同的添加剂现有芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用根据试验设计原
8、理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和求 的各概率分析：记第一种添加剂的芳香度为 ，)5,4321,0(x第二种添加剂的芳香度为 ，),(y则 的取值情况见“双向表” （表 6） yx因为 表示所选用的两种不同添加剂的芳香度之和，故“双向表”中对角线上的数据不存在（具体解题过程略）点评：此例进一步说明了“双向表”内的数据可以随具体情况的变化而变化，进而说明了“双向表”在解“ 二维列举”型概率问题时适用的广泛性3 “双向表”的拓展应用例 5 如图，是一个从 的“闯关”游戏BA规则规定：每过一关都要抛掷正四面体骰子，正四面体骰子是一个在各面上
9、分别刻有 1，2，3，4 点数的均匀正四面体在过第 关时，需要抛掷 次骰子，假n)3,21(n如这 次面朝下的点数之和大于 ，则算闯关成功记闯关成功的关数为 ，求 的分nn2布列和期望分析：首先，要正确理解“过第 2 关”与“过两关（即 ） ”的区别过“第 22xy0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 51 1 3 4 5 62 2 3 5 6 73 3 4 5 7 84 4 5 6 7 95 5 6 7 8 9 )1()()(B（表 6）- 5 -关” ，只要看两次掷骰子所得的点数之和是否大于 4 就行了；而“过两关（即 ） ”的2意思是第 1 关要过、第 2 关也要过、第 3 关没过，
10、三个条件必须同时满足其次，当时，可以用“双向表”直接求解；但当 时，参变量的个数增加到了 3 个，还2n n能不能借助于“双向表”来求解呢？回答是可以的解：记“掷 次，所得的点数之和大于 ”为事件 ，则过第 关的概率n2nA为 )(nAP1当 时， 21)(41CAP2当 时，记两次掷得的点数分别为 、 ，nxy当 时过第 2 关， 的取值见“双向yx表” （表 7） 85)(1602CAP3当 时，记三次掷得的点数分别为 、nx、y，考察 的情况，借助于“双向表” （表 7）：zzyx当 时， ，有 1 种；17当 时， ，有 3 种；2z6yx当 时， ，有 6 种；35当 时， ，有 1
11、0 种4z4yx于是 1601)(43CAP又 ， ， ， ，则 的分布列为：02，)(1x1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8（表 7）- 6 -，16382)()()1(121 APAP，256)(33 )()3( 2121（略）E点评：当 时，若用实数 对 的形式来列举 ，由于基本事件的情况比 较n),(kjizyx多，非常容易遗漏但借助“双向表”，并结合分类讨论，就方便得多了本题为我们提供了一个“三维列举” 问题如何借助 “双向表”求解的范例错解：当 时，记三次掷得的点数分别为 、 、3xy， ， 的取值见“双向表”zyxmzyxnn（
12、表 8） 则 145)8()203CPA点评：以上解法出错的原因是因为“表 8”中的各数字出现的情况不是等可能事件这是我们在运用“双向表” 解题时务必注意的地方变式 甲、乙两队进行罚点球比赛，每队 3 人，每人罚一个球，罚进得 1 分，罚不进得0 分假设甲队每人进球的概率都是 ，乙队的 3 名队员进球的概率分别是 、 和 ，4432且各人进球与否相互不影响求甲、乙两队总分之和等于 3 的概率分析：记甲队得分为 ，)3,210(x乙队得分为 ， ,yy的取值见“双向表” （表 9） 注意到表 9 中 取 到“ ”有 4 中情况，它们不是等可能事件不仿3记“ ”表示 取第 2 行、第 3 列的“ ”，则2zn1 2 3 42 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 96 7 8 9 107 8 9 10 118 9 10 11 12xy0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 42 2 3 4 53 3 4 5 6（表 8）（表 9）- 7 -，而不是 12893)4(134)()3( 2223 CP 16)3(2P综上所述，运用“双向表”求解“二维列举”型古典概型问题，思路清晰，方法简捷，遇等可能事件特别奏效， “双向表”法还可以拓展到“三维列举”的题型当然，“双向表”法的应用远不止上述类型的概率问题，限于篇幅，这里不再一一赘述了
