1、深圳市高级中学20152016学年第一学期期末测试高一数学命题人：范铯 审题人：程正科本试卷由两部分组成。第一部分：期中前基础知识和能力考查，共 57 分；第二部分：期中后知识考查，共 93 分。全卷共计 150 分，考试时间为 120 分钟。1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。第 I 卷 （本卷共计 57 分）一选择题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。在每个小题给
2、出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.集合 ， ，则 D(,)21Axy(,)3BxyABA B C D22 (2,5)(2,5)2.若 ， ， ，则有 Blna12b12logceA B bac C bca D cab3.函数 的零点所在的区间为 C()lnfxA B C D0,1(1,2) (2,3)(3,4)4. 函数 则 A2,()log(),xf5fA B C D115125.已知定义域为 R 的偶函数 在(，0上是减函数，且 ，则不等式 的解集为 A)fx1()2f4(log)fxA B C D1(0,)2,2,)0,(,(0,)2二填空题：共 2 小题,每小题 5 分,共 1
3、0 分,把答案填在答卷卡的相应位置上。6.计算 12(lg)0407.已知 符号函数,sn()1,0x，则函数 ()sgn(l)fxx的零点个数为 3三解答题：共 2 小题,共 22 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8. (本小题满分 10 分)已知函数 ，其中 为常数.1xaefa(1)若 ，判断函数 的奇偶性；()f(2) 若函数 在其定义域上是奇函数，求实数 的值.()1xaefa解：（1）当 时， ，其定义域为 R.()xfe此时对任意的 ，都有xR11() ()xxeef f所以函数 在其定义域上为奇函数。()f（2）若函数 在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意 ，有
4、：1xaef x1()()x xeaf fe 整理得： ，即： 对定义域内的任意 都成立。221xxaa22)xx所以 当 时， ，定义域为 R；1a1()xef当 时， ，定义域为 .1()xfe0(,)(,)所以实数 的值为 或 .a1a9.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ).2(lg)fxxR(1)若 ，求 的单调区间； 1a()f(2)若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围a解：（1）当 时，2()lg)fxx，即 ，解得：20x021x所以函数 的定义域为()fx(2,1)设 ，则 关于 在 为增函数。2(),(2,1)txx()lgfxt(0,)t由复合函数的单调性， 的
5、单调区间与 的单调区间一致。fx2,2,1txx二次函数 的对称轴为2(),(2,1)tx01所以 在 单调递增，在 单调递减。()tx1(2,1)2x所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 。()fx1(2,)（2）当 时， 为常数函数，定义域为 ，满足条件。0algf R当 时， 的定义域为 等价于 恒成立。()x20ax于是有 ，解得：208a8综上所述，实数 的取值范围是 。第卷（本卷共计93分）四选择题：共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。10已知直线 不经过第三象限，则 应满足 B0AxByC,ACA ， B ， C ， D
6、，000A0ABBC11在正四面体 中，若 为棱 的中点，那么异面直线 与 所成的角的余弦值等于 ASPSPSA B C D363323612已知 是空间两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 D,mn,A , , B ， ，/n/mn/nC ， ， D ， ，/ /13. 已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则 的面积为 CB(1,3)A(,)(1,0)CAA B C D345614已知圆锥的全面积是底面积的 倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 DA B C D223615. 已知圆 的标准方程为 ，直线 的方程为 ，若直线 和圆 有公共点，C21xyl(2
7、)ykxlC第 17 题图则实数 的取值范围是 BkA B C D3,23,1,21,16设三棱柱 的体积为 ，点 分别在侧棱 上，且 ，则四棱锥1CAVPQ、 1A、 1PAQC的体积为 CBPQA B C D 16V43V2V五.填空题：共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,把答案填在答卷卡的相应位置上。17已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于_ 0318半径为 ，且与圆 外切于原点的圆的标准方程为2210xyy_ 22()()六解答题：共 4 小题,共 48 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19. (本小题满分 12 分)如图，在四
8、棱锥 ABCDP中，底面 AB是平行四边形， 。 平面 ，点 M为 PC的中点.60BCD2(1)求证： /平面 M；(2)求证： .(1)证明:连接 A， 与 BD相交于点 O, 连接 ， BC是平行四边形， O是 的中点 . M为 P的中点， A/. 平面 BD, O平面 BMD, P/平面 . (2)证明: 平面 AC， 平面 AC， D. 方法 1：第 8 题图3ONMD CBAP 2ABD，设 ， ，过点 作 的垂线交 于点 。2A4BDABE 60C， 13,EE DAB2 22. . PDB， P平面 BD， 平面 PB， A平面 . 平面 ， DPB. 方法 2： 60AC，
9、2ABD， 22260BDcos222A. 2BD. . P， P平面 BD， 平面 PBD， AD平面 B. 平面 ， P. 20. (本小题满分 12 分)已知圆 过点 和 ，且与直线 012yx相切。C12(,A0(,)B(1)求圆 的方程；(2)设 为圆 上的任意一点，定点 ，当点 在圆 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程.P36(,)QPCPQM解：（1）圆心显然在线段 的垂直平分线 上，设圆心为 ，半径为 r，则：ABy6(,)a圆 的标准方程为22()()xar，C由点 在圆上得： 106，又圆 与直线 2yx，有135ar.于是213165()()aa解得： ，或3,r745,
10、r所以圆 的标准方程为 ，或C22360()()xy227680()()xy（2）设 点坐标为 ， 点坐标为 ，M(,)yP0,由 为 的中点， ，则 ，即：Q026xy0236xy又点 在圆 上，0(,)PxyC若圆的方程为 ，有： ，2236()y220036()()xy则 ，整理得：2() 5此时点 的轨迹方程为： .M25x若圆的方程为 ，有： ，7680()()y2200768()()xy则 ，整理得：223(x 5此时点 的轨迹方程为： 25()xy综上所述：点 M 的轨迹方程为 ，或20()xy21.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且1ABC1ABC1
11、12AB(1) 求证： ；(2) 若 ，求锐二面角 的大小。21解：（1）证明：如右图，取 的中点 ，连接 ，1ABDA因 ，则 1 分1由平面 侧面 ，且平面 侧面 ， 1C1BC1AB得 ， 3 分ADB平又 平面 ，1所以 . 4 分C因为三棱柱 是直三棱柱，1AB则 ，1平所以 . 5 分C又 ，从而 侧面 ，1=ADB1A又 侧面 ，故 . 7 分B1C（2）解： 过点 A 作 于点 ，连 .ECE由（1）知 ，则 ，且1DA平1DADA 即为二面角 的一个平面角 9 分B且直角 中： 10 分1C1263CEA又 ，=2AD ， 11 分23sin6E由二面角 为锐二面角 ，1AC
12、B=3AED即二面角 的大小为 12 分3BA1CAB1C1B1DEBA1CAC122（本小题满分 12 分）已知圆 的标准方程为 ，圆心为 ，直线 的方程为 ，点 在直线 上，M22()1xyMl20xyPl过 点作圆 的切线 ， ，切点分别为 ， PPABAB（1）若 ，试求点 的坐标；60B（2）若 点的坐标为 ，过 作直线与圆 交于 两点，当 时，求直线 的方程；(2,1) ,CD2CD（3）求证：经过 ， ， 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。APM解：（1）直线 的方程为 ，点 在直线 上，设 ，l0xyPl(2,)Pm由题可知 ，所以 ，222()4m解之得： 故所求点 的坐标为 或 4,5(0,)84(,)5（2）易知直线 的斜率一定存在，设其方程为： ，CD12ykx由题知圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，M22解得， 或 ，1k7故所求直线 的方程为： 或 CD30xy790xy（3）设 ，则 的中点 ，因为 是圆 的切线，(2,)PmP(,1)2mQPAM所以经过 三点的圆是以 为圆心，以 为半径的圆，,AM故其方程为： 222()()()xy化简得： ，此式是关于 的恒等式，2 0mxm故 解得 或20,xy2y4,5.所以经过 三点的圆必过定点 或 。,APM(0,)42,)5
