1、1机密启用前 昆明三中 20142015 学年下学期期末考试高二数学试卷（理科）答案第 I 卷（选择题，共 60 分）一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数 的图象如右图所示，则 的解析式可以是（ ）()fx()fxA B 12cosC D2()fx ln()xf【答案】D解析：由图象知，函数 为奇函数，排除选项 B、C ，选项 A 中，当 时，函数值()fx x，与图象不符错误，故选 Dy2已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）()yfx3(,)21(log)fA B C D212【答案】A解析：设幂函数
2、为 ，代入点 得， ， ，()fx3(,)13212()fx则 ，故选 B112221(log)(log)()fff3已知命题 ；命题 ；则下列结论正确的是2:,0pxR2015:,logqxx当 时（ ）A 为真命题 B 为真命题 q()pqC 为假命题 D 为假命题()p2【答案】C解析： ， 为假命题， 为真命题，当 时，2217()04xxpp2015x，命题 是真命题， 为假命题，故选 C20152015loglqq4如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 的值2015,mn2i是（ ）A2 B C4 D 2015 1【答案】C解析：由程序框图知， ， 不能被 2 整除,2051ia
3、a，这时 能被 2 整除，输出 ，则 ，故2,015iai4i选 C5数列 ， ， ，的一个通项公式为( )1318 115 124Aa n Ba n12n 1 1n 2Ca n Da n1nn 2 12n 1【答案】C解析： 观察知 an .1n 12 1 1nn 26若函数 f(x)(a )cosx 是奇函数，则常数 a 的值等于( )1ex 1A1 B1 C D. 12 12【答案】 D7函数 y 的增区间为( )12logxA(，) B(，2)C(2，) D( ，2)( 2，)3【答案】 B解析： 由 ylog |x2|12t(x2)在 x( ， 2)上是减函数， ylog t 为减函
4、数，此函数在(，2)上是增12函数8设函数 f(x)Error!若 f(4)f(0)，f (2)2，则关于 x 的方程 f(x)x 的解的个数为 ( )A4 B2 C1 D3【答案】 D解析： 由解析式可得 f(4)164bcf(0)c，解得 b4；f(2)48 c2，可求得 c2.f(x)Error!又 f(x)x，则当 x0 时，x 24x2x ，解得 x11， x22.当 x0 时，x2， 综上可知有三解9将正方体 ABCDA 1B1C1D1 的六个面染色，有 4 种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有 ( )A256 种 B144 种 C120 种 D
5、96 种【答案】 D解析： 只用 3 种颜色，则对面相同，共有 A 24.34用 4 种颜色，有一组对面， 颜色不同，A C 72.4 13共有 N722496(种)10已知函数 ，若函数 的零点个数是 4 个，则实数 的取值范2,0()lnxf|()|yfxmm围是（ ）A B. C. D(0,2)(0,20,2(0,)【答案】B解析：由 得， ，|()|fxm|()|fxXYO2-2X1ymlnx4画出 和 的图象如图所示，|()|yfxym由题设知，它们的图象有 4 个交点，则，故选 B0211已 知 函数 为偶函数，当 时， ，()fx(,)2x3()sinfxx若 ，则有（ ）1),
6、2,(3abcfA. B. C. D.bacbacab【答案】D解析： 为偶函数， 的图象关于 对称，又()2fx()fx2x3()sinfxx在 上单调递增， 在 单调递减， ，且(,x3,)21， ，即 ，故选 D213()1)(ffcab12己知函数 在 上的最大值为 ，则函数 的3(),fxmR,()hm2()1gxh零点个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C解析：当 时， ；当 时， ； 0m()1hm0()1hm则 ，分别作出 21()xg的图象如图所示，由2,(0),1(0)yxxyx图可知， 有三个零点，故选 C.)g第卷（非选择题，共 9
7、0 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。13若函数 yax 8 与 y xb 的图象关于直线 yx 对称，则 ab_.12【答案】 2解析： 直线 yax 8 关于 yx 对称的直线方程为 xay8，xy123 12312341234O5所以 xay8 与 y xb 为同一直线，故得Error! 所以 ab2.1214若 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，其展开式中的常数项为 ，则 的值为 ()n a【答案】 60解析：由题设知， ，展开式的通项为： ，6n612()rrrrTCx632()rrCx令 ，则 ， 302r226()0a1
8、5已知方程 有两个不等实根 ， ，则过点1tansixb),(,22bBaA的直线与圆 的位置关系是 2y【答案】相交解析：由题设知， ，过 两点的直线方程为：2ABabk,AB，即 ，圆心 到直线 的距离为2()yabx()0xy(,0)AB，2()1d又由题设知， ，1,tansib ，故直线与圆相交222sinsiin211costand r16定义在 上的函数 满足下列两个条件： 图象关于 对称， ，R()fx(1)fx1x()0fx若 ，则 的取值范围为_(1)lg)f【答案】 0,1,6解析：由 是定义域为 ，并且图象关于 对称，则 图象关于 轴对称，故(1)fxR1x()fxy为
9、偶函数，由 得函数 在 上单调递增，所以()f(0f()f0,1(lg)fx故 或 ，解得 的取值范围： (1)lg),fxl1,lgxl1x0,三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 10 分）已知函数 f(x)lnx x 1，求曲线 yf (x)在点(2，f(2)处的切线方程2x解析： f(x) lnx x 1，2xf(x) 1 ，f(2)ln22，f (2)1. 7 分1x 2x2曲 线 yf( x)在点(2，f(2)处的切线方程为 yxln2. 10 分18 （本小题满分 12 分）（1）已知 Sn是等差数列a n的前
10、n 项和，且 a415，S 555，求过点 P(3，a 3)、Q(4 ，a 4)的直线的斜率；（2）设等比数列b n的公比 q3，前 n 项和为 Tn，求 的值42b解析：（1）设数列a n的公差为 d，则依题意，得Error! Error!故直线 PQ 的斜率为 4. 6 分a4 a34 3 d1（2）由题意得 T4 40b 1，b23b 1， . 12 分41()42T40319 （本小题满分 12 分）某中学篮球队进行了 4 次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则 4 次测试都要参加；若王浩同学在 4 次测试中每次合格的概率组成一个公差为 的等差数列，15他
11、第一次测试合格的概率不超过 ，且他直到第二次测试才合格的概率为 ；1282（1）求王浩同学第一次参加测试就合格的概率；（2）求王浩同学参加测试的次数 的分布列和数学期望X7解析：（1）设王浩同学四次测试合格的概率依次为：， 2 分11,2,3()552aa由题设知， ，即 ，8()03a解得， (舍去) ，或故王浩同学第一次参加测试就合格的概率为 ； 6 分15（2）由题设知， 取值为 1,2,3,4，X由（1）知， ， ，1()5P428()PX，4362， 10 分8()11X则 的分布列为： 1 2 3 4P 586152 ， 309215EX即王浩同学参加测试的次数 的数学期望为 12
12、 分X220 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为x P，曲线 C 的极坐标方程为 (2,)62sin3（1）写出点 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程；P（2）若 为 C 上的动点，求 的中点 到直线 （ 为参数）距离的最大值QQM12:3xtly解析：（1） 点 的直角坐标 ， 1 分P(3,1)由 得， ，2sin23xy曲线 的直角坐标方程为 ； 5 分C248（2）由（1）知，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，C2cos1inxy直线 的普通方程为： ， 7 分l30x设 ，则 ，2cos,1inQcos,in
13、2M那么点 到直线 的距离为：Ml，33sincosi3221d点 到直线 距离的最大值为： 12 分Ml 72421 （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： ，离心率为 ，椭圆上的点到直线 的距离C21(0)xyab3252x的最大值为 ，倾斜角为 45的直线 交椭圆于不同的两点 .952l ,AB（1）求椭圆的方程；（2）已知点 ，当直线 不过点 时，求证：直线 与 轴围成一个等腰三角(4,1)MlM,Mx形解析：（1）离心率为 ， ，32ca又椭圆上的点到直线 的距离的最大值为 ，5x952 ，则 ， ， 3 分592a2a1c，015bc椭圆方程为 ； 5 分2xy9（2）由题设知，设直
14、线 的方程为 ，lyxm由 得， ，2105yxm22840x设 ， ，),(1yxA),(2yB ， ， 7 分285m12405x要证直线 与 轴围成一个等腰三角形，,M只要证明直线 的斜率互为相反数即可， 8 分AB设直线 的斜率分别为 ，,12,k2(0,)k 12124ykx12211()()4yx12211()()(xmmx1221(5)8()4)2120(1)55)mmx，2128440()故结论正确 12 分22 （本小题满分 12 分）已知 ，函数 0xln1axfx（1）若函数 在其定义域内单调递增，求 的取值范围；()10（2）若 有两个极值点 ， ，求证： .()fx1
15、x21211xfxffx解析：（1） ， ，lnaf(0,) ， 2 分2211xfx由题设知， 在 上恒成立，()0f(,) ，2 2xaax ， ，故 ； 5 分124x（2） 、 是 的两个极值点， 、 是方程 的两根，12f 1x20fx即 、 是 的两个解， ，x0a则 1212lnln1xaxff12212lx； 8 分12()lnaa由 得， ， lxfxlnxfx即 ，121lff因此，要证明 ，121xxfx只要证明 ，lnf ，只需证明 ，即证 ， 10 分0xxfxln1x令 ，则 ，ln1g1g当 时， ，函数 在 上单调递增；0,x0xx0,当 时， ，函数 在 上单调递减；1gg1 ，即 ，maxln1gxx
