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有理数角度的三角函数值何时是有理数100071 北京丰台二中 甘志国(特级教师)定理 设Q，则(1) 当且仅当或Z)时，Q(且)；(2)当且仅当或Z)时，Q(且)；(3)当且仅当Z)时，Q(且).证明定理,须用到一些引理.下面先给出该定理的两个推论：推论1 设Q，则(1)当且仅当或Z)时，Q(且）；(2)当且仅当或Z)时，Q(且)；(3)当且仅当Z)或Z)时，Q(且).证明 由公式及定理(2)可证.推论2 三边长度均是有理数的三角形若有内角的度数是有理数，则该内角的大小只能是或.证明 由余弦定理及定理(2)可得.引理1 当Z时，定理成立.引理2 (1)若既约分数N*Z是关于的整系数多项式方程N*)的根，则；(2)最高次项系数为1的整系数多项式方程的有理根是整数且是常数项的约数(请注意：任意整数(当然包括0)都是0的约数).引理3 设N*，则存在Z且，使 (当均有意义时) (当均有意义时) (可用数学归纳法同时证得结论成立.)引理4