1、1精彩的生成来自学生的自主研究李世杰（浙江省衢州市教研室 324002）“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计研究”课题组第五次研讨会，其中有二节研究课的内容是方程的根与函数零点 ，听后很受启发. 反复看课堂教学录像及其教学设计,觉得让学生以研究者身份，通过做数学，课堂将更开放，也会更精彩.下面以刘宗良老师教学中采用的一个 “好问题”的教学设计为例进行说明。一、开放的情境更易于引导学生做数学刘宗良老师根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号
2、） 。这一片段刘老师的课堂教学实录如下：问题 1 图 1 是某地从 0 点到 12 点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为 0 度？为 什么？ 1 图 1师：在补充图象的时候请考虑：图象与 x 轴是否一定相交。师：有哪位同学得到与 x 轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。师：很好，因为这两个原因使得图象与 x 轴一定相交。那么，交点可能会在哪儿？生众：0 到 12 之间。师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与 x 轴的交点就
3、是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。师：函数存在零点的关键是什么？生众：函数图象是连续不断的；一个点在 x 轴下方，一个点在 x 轴上方。从上述过程可见，刘老师通过 “问答”式这种形式引导学生进行探究。实践证明效果较好。但对高中学生来说,数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学” ，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好，鉴于此，课后我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：问题 2 图 1
4、 是某地从 0 点到 12 点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这 段时间内，是否一定有某 时刻的气温 为 0 度？为什么？在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。并在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从 “听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学,研究数学。1刘宗良方程的根与函数零点课堂实录2二、 “预设”与“生成”结合的课堂更精彩原问题给学生一个图，学生会用最方便
5、直接的方法进行连接（一条直线段） ，在转换了情境问题后，一次就给学生二个相同的图形，要求进行不同的连接，设计第二个图的连接有的学生会面临困难，教师适时提示：“请大家再试着画画看” ， “独立思考几分钟” ，以更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，种、两种、三种没有预设的连接方法接踵而至，学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，使课堂出现“生成”的精彩。学生是聪明的，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获（下面仅列举一部分成果，课堂上用实物投影展示） 。1让学生在表述结果中进行数学交流教师先从连接线的几何和数量特性着手，引领学生进行课堂交流。学生画出的图形是五花八门的：(1)
6、用线段连接（如图 2、3 等） 。(2)用曲线段连接学生给出了很多连接方法如图 4、5、6、7 等都是学生给出的。学生画出的图形为课堂教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(a，b)内有单一零点的函数是单调的、不单调，有多个交点的等。而且也还有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图 5） ，这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。实践证明，每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者.学生从这一问题的研究出发，放飞想象，上述这道教师眼里简单的画图题，仅仅在几分钟里，学生通过观察、猜想、尝试，就探索出了这么多种不同的画法，有助于加深对本节课所学知识的理解，为后续学习积累大量的素材，逐步学会
7、思考。2课堂研究中的动态生成是灵动的教学资源构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线, 才能使课堂真正为学生的发展服务. 在课堂上要及时合理地捕捉学生研究得到的动态生成，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩。（1）学生画出的图形，蕴含着丰富的教学资源。从图象与 x轴交点（即零点）的个数看，可以构造出任意有限个零点的连接图 4图 2 图 3图 5 图 6。图 7图 8 3图。那么，是否存在有无限个零点的连接图？有的学生经过思考后提出：将线段设置为与 x轴重合，如图 8，其图象是不间断的，显然该函数的零
8、点为一个区间，有无限多个。给学生几分钟的思考时间，给学生“灵机一动” 、 “茅塞顿开”的机会，就可能出现“柳暗花明” “出人意料”的结果，进而极大地激发学生的探究欲望，并充分享受发现的喜悦。（2）从这些图形零点附近图象的代数特征看，可分成四种情形：函数值异号（+；+） ；函数值同号（+；） ，这样可把学生引向本节课的重要结论的研究。（3）前面学生研究出的连接图，还可用来协助解决二节观摩课中提出的一系列问题，加深学生对本课内容的理解，如：问题 1 若 ，函数 在区间 上一定没有零点吗？0fabyfxa,b问题 2 若 ，函数 在区间 上只有一个零点吗？ff,问题 3 能否增加条件，使得函数在区间
9、 内有且只有一个零点？问题 4 若在区间a，b上图象连续不断的函数 f(x)在a，b上有一个零点，是否一定有f(a)f(b)0?问题 5 若在区间a，b上图象连续不断的函数 f(x)满足 f(a) f(b)0，则函数 f(x)在(a，b)上零点个数一定是有限个吗? 刘老师在教学中的做法是：（在几何画板直接展示函数的图象，不给出函数解析式，如图 9。引导学生2134yxxx改变区间 的端点，通过观察，验证问题 1、2。a,b图 9师：所以零点存在性定理可以判断当条件满足时，函数在区间内一定有零点，但不能确定零点的个数。师：能否增加条件，使得函数在区间 内有且只有一个零点？a,b生众：单调性。师：
10、具体说，可以增加这样的条件：函数在区间 内为单调函数。,这里我们利用图 7 就能回答这几个问题。这样的生成，让平淡的课堂变得趣味无穷，让平常的课堂情节变得迭宕起伏，不仅将学生在画图过程中动态生成的信息转化为有效的教学资源，并在动态中促使学习内容不断生成，4知识不断建构并得到内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学。古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科学高峰的征途中，都会给思考留有一定时间。据说爱因斯坦狭义相对论的建立，经过了“十年的沉思” 。他说：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。 ”许多教师在课堂教学中，由于没有抓住教学内容的核心，往往堆积了大量细枝末节问题，教师讲得多，给学生思考的时间少，甚至不给学生思考机会，导致学生思维能力得不到培养。因此，教学设计时应给学生预留更多的思考时间和空间. 学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。如果学生能学会思考和研究，这比什么目标都有意义。
