1、智浪教育-普惠英才文库0初中数学竞赛辅导资料（52）换元法甲内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：
2、一元四次的倒数方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以 x2,得 a(x2+ )+b(x+ )+c=0.1x设 x+ =y, 那么 x2+ = y22, 1原方程可化为 ay2+by+c2=0.对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是 1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4bx 3+cx2bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以 x2, 可化为 a(x2
3、+ )b(x )+c=0.x设 x =y, 则 x2+ =y2+2, 11原方程可化为 ay2by+c+2=0.乙例题例 1. 解方程 =x.112xx解：设 =y, 那么 y2=2x+2 .12x原方程化为： y y2=0 .解得 y=0；或 y=2.当 y=0 时， =0 (无解) 1x当 y=2 时， =2， 解得，x= . 检验（略）.45智浪教育-普惠英才文库1例 2. 解方程：x 4+(x4) 4=626.解：（用平均值 代换，可化为双二次方程.）2x设 y= x2 ，则 x=y+2. 原方程化为 (y+2) 4+(y2) 4=626. (y+2) 2(y 2)2)22(y+2)
4、2(y2) 2626=0整理，得 y 4+24y2297=0. ( 这是关于 y 的双二次方程).(y2+33)(y29)=0. 当 y2+33=0 时， 无实根 ； 当 y29=0 时， y= 3.即 x2=3， x=5；或 x=1.例 3. 解方程：2x 4+3x316x 2+3x+2=0 . 解：这是个倒数方程，且知 x0，两边除以 x2,并整理 得 2(x2+ )+3(x+ )16=0. 1设 x+ =y, 则 x2+ =y22.原方程化为 2y 2+3y20=0. 解得 y=4；或 y= .5由 y=4 得 x=2+ ；或 x=2 .33由 y=2.5 得 x=2 ；或 x= .1例
5、 4 解方程组 024522yxyx解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设 x+y=u, xy=v. 原方程组化为：. 解得 ； 或 .0122vu374vu9132vu即 ； 或 .374xy9132xy解得： ；或 ；或 ；或 .321yx321y412y412yx智浪教育-普惠英才文库2丙练习 52 解下列方程和方程组：（1 到 15 题）：1. 352x.)7(2xx2. (16x 29) 2+(16x29)(9x 216)+(9x 216) 2=(25x225) 2.3. (2x+7) 4+(2x+3)4=32 . 4. (2x 2x 6) 4+(2x2
6、x8) 4=16.5. (2 )4+(2 )4=16.15x35x6. = . 7. 2x 43x 3x 23x+2=0.28. 9. .1982xy1602yx10. .5636467222 x11. (6x+7) 2(3x+4)(x=1)=6.12. . 13. .135yx 1025yx14. . 15 .0182yxy x16. 分解因式： (x+y2xy)(x+y 2)+(1 xy) 2； a 4+b4+(a+b)4 . 17. 已知：a+2=b2=c2=d2, 且 a+b+c+d=1989. 则 a=_,b= _,c=_,d=_ ( 1989 年泉州市初二数学双基赛题)18. a表示不大于 a 的最大整数，如 =1， =2，那么 方程 3x+1=2x 的所有根的和是_.(1987 年全国初中数学联赛题)21
