1、第五章 解三角形与平面向量学案 23 正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理1三角形的有关性质(1)在ABC 中， ABC_；(2)ab_c，abbsin A_sin BA_B；(4)三角形面积公式：S ABC ah absin C acsin B_；12 12 12(5)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB 或_三角形为等腰或直角三角形；sin(AB )sin C，sin cos .A B2 C22正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理内容 _2Ra2_，b
2、2_，c2_.变形形式a_，b_，c_；sin A_，sin B_，sin C_；ab c_； a b csin A sin B sin C asin Acos A_；cos B_；cos C_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1(2010上海)若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C 51113，则ABC( )A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2(2010天津)在ABC 中，内角 A，B，C
3、 的对边分别是 a，b，c，若a2b 2 bc， sin C2 sin B，则 A 等于 3 3( )A30 B60 C120 D1503(2011烟台模拟)在ABC 中，A60，b1，ABC 的面积为 ，则边 a 的值为( )3A2 B.7 21C. D3134(2010山东)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a ，b2，2sin Bcos B ，则角 A 的大小为 _25(2010北京)在ABC 中，若 b1，c ，C ，则 a_.323探究点一 正弦定理的应用例 1 (1)在ABC 中，a ，b ，B45，求角 A、C 和边 c；3 2(2)在ABC 中， a
4、8，B60，C75，求边 b 和 c.变式迁移 1 (1)在ABC 中，若 tan A ，C150，BC1，则 AB_；13(2)在ABC 中，若 a50，b25 ，A45，则 B_.6探究点二 余弦定理的应用例 2 (2011咸宁月考)已知 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 的对边，且a2c 2b 2ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 c3a，求 tan A 的值变式迁移 2 在ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，B ，b ，ac 4，求 a.23 13探究点三 正、余弦定理的综合应用例 3 在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、 C 的对边，如果
5、(a 2b 2)sin(A B)( a2b 2)sin(AB) ，试判断该三角形的形状变式迁移 3 (2010天津)在 ABC 中， .ACAB cos Bcos C(1)证明：BC；(2)若 cos A ，求 sin 的值13 (4B 3)1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同 时它是对正、余弦定理，三角形面 积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现 一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时 ，要注意两
6、点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换 、三角恒等 变形的原则和方法 “化繁为简” “化异为同”是解此类问题的突破口 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2010湖北)在ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B 等于 ( )A B. C D.223 223 63 632.在ABC 中 AB3，AC=2，BC = ，则 等于 ( )10AB AC A B C. D.32 23 23 323在ABC 中，sin 2 (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状A2 c b2c为( )A正三角形 B直角三角形C等腰直角三
7、角形 D等腰三角形4(2011聊城模拟)在ABC 中，若 A60，BC 4 ，AC 4 ，则角 B 的大小为( )3 2A30 B45C135 D45或 1355(2010湖南)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 C120，c a，则 ( )2Aa b Ba (3) (4) bcsin A (5)AB 2. 12 2 asin A bsin B csin Cb2c 22bccos A a 2c 22accos B a 2b 22abcos C 2Rsin A 2Rsin B 2R sin C sin Asin Bsin C a2R b2R c2R b2 c2 a22
8、bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab自我检测1C 2.A 3.C4. 5.16课堂活动区例 1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进 行判断， 这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABC 中已知 a、b 和 A，求 B.若 A 为锐角，当 ab 时，有一解；当absin A 时，有一解； 当 bsin Ab 时 ，有一解；当 ab 时，无解解 (1)由正弦定理 得， sin A .asin A bsin B 32ab，A B，A60 或 A120.当 A60时，C180 456075 ，c ；bsi
9、n Csin B 6 22当 A120时，C180 4512015 ，c .bsin Csin B 6 22综上，A60 ，C75 ，c ，6 22或 A120，C 15，c .6 22(2)B 60，C75，A45.由正弦定理 ，asin A bsin B csin C得 b 4 ，c 4 4.asin Bsin A 6 asin Csin A 3b4 ，c4 4.6 3变式迁移 1 (1) (2)60 或 120102解析 (1)在ABC 中，tan A ，C150，13A 为锐角，sin A .110又BC1.根据正弦定理得 AB .BCsin Csin A 102(2)由 ba，得 B
10、A，由 ，asin A bsin B得 sin B ，bsin Aa 25650 22 320a， BA，7cos A .1 sin2A5714tan A .sin Acos A 35方法三 c3a，由正弦定理，得 sin C3sin A.B ，C ( AB) A，3 23sin( A) 3sin A，23sin cos A cos sin A3sin A，23 23 cos A sin A3sin A，32 125sin A cos A，3tan A .sin Acos A 35变式迁移 2 解 由余弦定理得，b 2a 2c 22accos Ba 2c 22accos 23a 2c 2ac(
11、ac )2ac.又ac4，b ，ac3，13联立Error! ，解得 a1，c 3 ，或 a3，c 1.a 等于 1 或 3.例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解 方法一 (a 2b 2)sin(AB)(a 2b 2)sin(AB)a 2sin(AB)sin(AB)b 2sin(A B)sin(AB)，2a 2cos Asin B2b 2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin 2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos A sin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由 02A2，02B
12、2，得 2A2B 或 2A2B，即ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B2b 2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2b b 2a ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22aca 2(b2c 2a 2)b 2(a2c 2b 2)，即(a 2b 2)(c2a 2b 2)0，ab 或 c2a 2b 2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移 3 解题导引 在正弦定理 2R 中，2R 是指什么？asin A bsin B csin Ca2R sin A，b2Rsin B，c 2 Rsin C 的作用是什么？(1)证明 在ABC 中，由正弦定理及已
13、知得 .sin Bsin C cos Bcos C于是 sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin(BC)0.因为 BC ，从而 BC0.所以 BC.(2)解 由 ABC 和(1)得 A 2B ，故 cos 2Bcos(2B) cos A .13又 02B，于是 sin 2B .1 cos22B223从而 sin 4B2sin 2Bcos 2B ，429cos 4Bcos 22Bsin 22B .79所以 sin(4B 3)sin 4Bcos cos 4Bsin 3 3 .42 7318课后练习区1D 2.D 3.B 4.B 5.A6等边三角形解析 b 2a 2c 22ac cos
14、 B，aca 2c 2ac ，(ac )20，ac，又 B60 ，ABC 为等边三角形71解析 由 AC2B 及 ABC180 知， B60.由正弦定理知， ，1sin A 3sin 60即 sin A .12由 ab 知，A B，A30 ，C180AB18030 6090，sin Csin 901.8.4解析 设BAD ，DAC，则 tan ，tan ，13 12tanBAC tan( )tan tan 1 tan tan 1.13 121 1312BAC 为锐角，BAC 的大小 为 .49解 (1)因为 cos ，A2 255所以 cos A2cos 2 1 ，sin A .(4A2 35
15、 45分)又由 3 得 bccos A3，所以 bc5，AB AC 因此 SABC bcsin A2.(812分)(2)由(1)知，bc5，又 bc6，由余弦定理，得 a2b 2c 22bccos A( bc )2 bc20，所以 a2 .(12 分)165 510解 在ADC 中，AD10，AC14， DC6，由余弦定理得，cosADCAD2 DC2 AC22ADDC ，(6 分)100 36 1962106 12ADC120，ADB60.(8 分)在ABD 中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin BAB ADsin ADBsin B 10sin 60sin 45 5 .(12103222 6分)11解 (1)3b 23c 23a 24 bc，2b 2c 2a 2 bc.423由余弦定理得，cos A ，(4 分)b2 c2 a22bc 223又 0A，故 sin A .(6 分)1 cos2A13(2)原式 (8 分)2sin(A 4)sin( A 4)1 cos 2A2sin(A 4)sin(A 4)2sin2A (11 分)2( 22sin A 22cos A)( 22sin A 22cos A)2sin2A .sin2A cos2A2sin2A 72所以 .(14 分)2sinA 4sinB C 41 cos 2A 72
