线性代数二次型(共17页).doc

二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有个变量的二次齐次函数：称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为：令，则，且为对称矩阵。由于对称矩阵与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵为二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵的二次型，也称为二次型的秩。例1 设 试求二次型矩阵. 解 , , , , , .于是得 ，例2 已知三阶矩阵和向量,其中 , .求二次型的矩阵. 解 由于不是对称矩阵,故不是二次型的矩阵.因为 ,故此二次型的矩阵为 .二、线性变换 1 标准形定义：形如的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。2 线性变换定义： 关系式称为由变量到变量的一个线性变量替