线性代数的一些证明题分析11页.doc

线性代数一些证明题1题目设n阶可逆矩阵A满足A=A，求A的特征值。知识点特征值与特征向量 矩阵的行列式解题过程解：因为A=A所以AA=0 所以det(AA)=detA(AE)=det(A)det(AE)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)0 所以det(AE)=0 所以A的特征值为1.常见错误设存在，使Ax=x成立则 det(Ax)=det(A)det(x)=det(x)=det(x) (错误在于向量取行列式)所以 有成立.又因为A=Adet(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.由于A为可逆矩阵，det(A)0.所以 det(A)=1当n为奇数时，=1.当n为偶数时，=1.相关例题设A为n阶矩阵,若A=E，试证A的特征值是1或-1. 2题目设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0