1、第 5 讲 模拟方法概率的应用一、选择题1在区间1,1 上随机取一个数 x，cos 的值介于 0 到 之间的概率为( )x2 12A. B.13 2C. D.12 23解析 在区 间1,1上随机取一个数 x，即 x1,1，要使 cos 的值介于x20 到 之间，需使 或 ，1x 或 x 1，区间长12 2 x2 3 3 x2 2 23 23度为 ，由几何概型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 .23 x2 12 232 13答案 A2. 如图的矩形长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 ( )A.
2、 B. C. D.165 215 235 195解析 由几何概型的概率公式，得 ，所以阴影部分面积约为 ，故 选S10 138300 235C.答案 C3如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于 ( )A. B. 14 13C. D.12 23解析 S ABE |AB|AD|，S 矩形 ABCD| AB|AD|.12故所求概率 P .SABES矩 形 ABCD 12答案 C4在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于 36 cm2 到 81 cm
3、2 之间的概率为( )来源 A. B.116 18C. D.14 12解析 正方形的面积介于 36 cm2 到 81 cm2 之间，所以正方形的边长介于 6 cm到 9 cm 之间 线段 AB 的长度为 12 cm，则所求概率为 .9 612 14答案 C5若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b，则方程x2 有不等实数根的概率为( )2a2bxA. B. C. D.14 12 34 25解析 方程 x2 ，即 x22 x2b0，原2a2bx 2a方程有不等实数根，则需满足 (2 )2a242b0 ，即 ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b) 的所有可能结果是边长
4、为 1 的正方形(不包括边界)，而事件 A“方程 x2 有不等实数根”的可能结果为图中阴2a2bx影部分(不包括边界) 由几何概型公式可得 P(A) .故选 B.121111 12答案 B6已知平面区域 Error!，直线 ymx2m 和曲线 y 有两个不同的4 x2交点，它们围成的平面区域为 M，向区域 上随机投一点 A，点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M)，若 0m1，则 P(M)的取值范围为( )来源: 学,科,网 Z,X,X,KA. B.(0， 22 (0， 22C. D. 22，1 22，1解析：已知直线 ymx 2m 过半圆 y 上一点4 x2(2 ,0)，当 m0 时直线与
5、 x 轴重合，这时 P(M)1，故可排除 A，B，若 m1，如 图可求得 P(M) ，故选 D. 22答案：D二、填空题7在半径为 1 的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为_解析 (1)记事件 A 为“弦 长超过圆内接等边三角形的 边长” ，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦 为 CD 时，就是等 边 三角形的 边长，弦 长 大于 CD 的充要条件是 圆心 O 到弦的距离小于OF(此时 F 为 OE 的中点) ，由几何概型概率公式得：P(A) .1222 12答案 128小波
6、通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末12去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书则14小波周末不在家看书的概率为_解析 设 A 小波周末去看电影 ，B小波周末去打篮球，C小波周末在家看书 ，D小波周末不在家看书，如 图所示，则 P(D)1 .122 142 1316答案 13169有一个底面圆的半径为 1，高为 3 的圆柱，点 O1，O 2 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O1，O 2 的距离都大于 1 的概率为_解析 确定点 P 到点 O1，O2 的距离小于等于 1
7、的点的集合 为，以点 O1，O2为球心，1 为半径的两个半球，求得体积为 V2 13 ，圆柱的体积12 43 43为 VSh3，所以点 P 到点 O1，O2 的距离都大于 1 的概率为 V1 .433 59答案 5910已知正三棱锥 SABC 的底边长为 4，高为 3，在三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC VSABC 的概率是 _12解析 三棱锥 PABC 与三棱锥 SABC 的底面相同，V PABC VSABC 就是12三棱锥 PABC 的高小于三棱锥 SABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意， 设底面 ABC 的面积为 S，三棱锥 SABC 的高
8、为 h，则所求概率为：P .13Sh 1314S12h13Sh 78答案 78三、解答题11已知集合 A 2,0,2 ，B 1,1，设 M (x，y)|xA，y B，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆 x2y 21 上的概率；来 XXK(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域 D：Error!内(含边界)的概率解：(1)记“以 (x，y)为坐标 的点落在圆 x2y 21 上 ”为事件 A，则基本事件总数 为 6.因落在圆 x2y 21上的点有(0 ，1)，(0,1)2 个，即 A 包含的基本事件数为 2，所以 P(A) .26 13(2)记“以(x，y
9、)为坐标的点位于区域内 ”为事件 B，则基本事件总数为 6，由图知位于区域 D 内(含边界 )的点有：(2，1)，(2，1)，(0，1)，(0,1)，共4 个，即 B 包含的基本事件 数为 4，故 P(B) .46 2312已知关于 x 的一次函数 ymxn.(1)设集合 P2，1,1,2,3和 Q 2,3，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 m 和 n，求函数 ymx n 是增函数的概率；(2)实数 m，n 满足条件Error!求函数 ymxn 的图象经过一、二、三象限的概率解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(2， 2)， (2,3)，( 1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,
10、3)，(2，2)，(2,3)，(3， 2)，(3,3)，共 10 个基本事件设使函数为增函数的事件为 A，则 A 包含的基本事件有：(1，2)，(1,3)，(2， 2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共 6 个基本事件，所以， P(A) .610 35(2)m，n 满足条件 Error!的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则 m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为 P .1272 1713甲打靶射击，有 4 发子弹，其中有一发是空弹(1)求空弹出现在第一枪的概率；(2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹
11、，甲前三枪在靶上留下三个分别相距 3、4、5 的弹孔 P， Q，R ，第四枪瞄准了三角形 PQR 射击，第四个弹孔落在三角形 PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过 1 的概率(忽略弹孔大小)解 设四发子弹编号为 0(空弹)，1,2,3，(1)设第一枪出 现“空弹”的事件为 A，第一枪有 4 个基本事件， 则：P(A) .14(2)方法一：前三枪出现“空弹”的事件为 B，则第四 枪出现“空弹”的事件为 ，那么 P( )P(A) ，P(B)1P( )1P (A) 1 .B B B14 34方法二：前三枪共有 4 个基本事件0,1,2，0,1,3，0,2,3， 1,2,3，满足条件的有三个
12、，则 P(B) .34(3)RtPQR 的面积为 6，分 别以 P，Q，R 为圆心、 1 为半径的三个扇形的面积和为 ，2设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过 1 的事件为 C，P(C) 16 126.1214设函数 f(x)x 2bxc，其中 b，c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件 A“f(1)5 且 f(0)3”发生的概率(1)若随机数 b，c 1,2,3,4；(2)已知随机函数 Rand( )产生的随机数的范围为x|0x1，b，c 是算法语句 b4*Rand( )和 c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号” ）解 由 f(x)x 2bxc 知，事件 A
13、“f(1)5 且 f(0)3” ，即Error!(1)因为随机数 b，c 1,2,3,4，所以共等可能地产生 16 个数对(b，c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2) ，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3) ，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件 A：Error! 包含了其中 6 个数对( b，c)，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1) 所以 P(A) ，即事件 A 发生的概率为 .616 38 38(2)由题意，b ，c 均是区间0,4中的随机数，点(b， c)均匀地分布在边长为 4 的正方形区域 中(如图 )，其面积 S()16.事件 A：Error! 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分) ，其面积为 S(A) (14)3 .12 152所以 P(A) ，SAS 15216 1532即事件 A 发生的概率为 .1532
