1、航空重力系统误差估计和向下延拓的逆泊松半参数方法赵启龙 1,2，李建成 1，徐新禹 1，于男 11 武汉大学测绘学院，湖北 武汉，430079 地球空间环境与大地测量教育部重点实验室，湖北 武汉，430079摘 要：常用航空重力系统误差事后处理方法需外部重力数据，但很多地区无外部重力数据。研究发现半参数模型可在无“外部数据”时估计系统误差，先用自然样条函数为系统误差建模，后用补偿最小二乘法和光滑参数求解，最后用广义交叉核实法（不需先验信息）选取光滑参数。本文将半参数模型用于向下延拓逆泊松积分，建立逆泊松半参数混合模型，既可无外部重力时估计系统误差，又可向下延拓。实验表明：无外部重力时逆泊松积分
2、和最小二乘配置法受系统误差影响最大，向下延拓精度最差；正则化算法可减弱系统误差影响，向下延拓精度较好；逆泊松半参数混合模型可估计系统误差，向下延拓精度最好。关键词：半参数模型；逆泊松积分；向下延拓；系统误差Inverse Poisson Integral Semi-Parametric Approach of Estimating Airborne Gravity Systematic Error and Downward ContinuationZHAO Qilong 1, 2, LI Jiancheng1, XU Xinyu1, YU Nan11. School of Geodesy an
3、d Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China;2. Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy of Ministry of Education, Wuhan University, Wuhan 430079, ChinaAbstract: The existing systematic errors processing method of airborne gravity needs external gravity data, but many areas do not ha
4、ve external gravity data. However, semi-parameter model can estimate the systematic errors without external data. Firstly, the systematic errors are modeling using natural spline function. Then compensation least squares method is used to estimate the parameter and the natural spline function. The s
5、mooth parameter is used to balance them. More importantly, the generalized cross validation method to determine the smooth parameter does not need prior information. Therefore, we propose to apply semi-parameter model in the inverse Poisson integral to estimate systematic errors and downward continu
6、ation in one step. The numerical test results show the inverse Poisson integral and least square collocation cannot estimate systematic errors. The regularization method based on inverse Poisson integral can reduce systematic error effect. The semi-parameter combine inverse Poisson integral model ca
7、n estimate systematic errors and improve downward continuation accuracy at the same time without external gravity data.Keywords: semi-parametric model; inverse Poisson integral; downward continuation; systematic errors基金项目：国家重点基础研究发展计划-973计划(2013CB733301)；国家高技术研究发展计划-986 计划(2013AA122502)；国家自然科学基金面上项
8、目(41374022)；中央高校基本科研业务费专项基金资助(2015214020202)。Foundation Support: National Key Basic Research Program of China No.2013CB733300; National High Technology Research and Development Program No. 2013AA122502; the Project of National Natural Science Fund No. 41374022; the Fundamental Research Funds for the
9、 Central Universities No. 2015214020202. 作者简介：赵启龙（1988-） ，男，河南平顶山人，博士研究生，研究方向为航空重力测量与物理大地测量学。E-mail: 李建成（通信作者） ，男，内蒙古集宁市人，院士，博士生导师，E-mail: 中图法分类号： 文献标识码： 航空重力系统误差按照成因大致分为三类，第一类为观测误差（停机坪基准值相关的联测误差、与比力初值相关的观测误差） ，二是标定误差（格值、交叉耦合系数、摆杆尺度因子的标定误差） ，第三类是其他改正过程中的模型化误差 1。数值上可分成恒值系统误差（偏差）和变值系统误差（漂移） 2-6。而系统误差
10、会随着仪器、观测方法、基准等发生变化，需事后处理。事后处理方法有交叉测线平差、重复测线和相邻测线比较等，先用外部重力异常确定交叉测线、重复测线和相邻测线的精度，后比较它们与正常测线之间的差值，再改正正常测线系统误差，本质需要外部重力数据 4, 5, 7。比如美国Alabama和Louisiana航空重力项目，由于其本身不含有重复测线和相邻测线，且交叉测线精度较差，使得数据含有系统误差，考虑北美地区有较高精度的外部重力数据，便直接用外部重力数据来改正偏差 3。但是，极区或者高山地区进行航空重力测量时，并没有高精度的外部重力异常，系统误差改正甚至发现是个难题。著名物理大地测量学家莫里兹曾将重力测量
11、中的系统误差作为随机变量研究 8。孙中苗根据分析实验，利用较优的水平加速度改正方法减小系统误差。通过查阅资料发现，近年来半参数模型已成为处理系统误差的有效手段：王振杰等利用半参数模型分析GPS基线中的系统误差；赵建虎等将半参数模型用于海洋测绘，研究多波束测量系统误差削弱方法；丁士俊陶本藻等使用基于自然样条函数的半参数模型估计系统误差；著名数学家Fessler 曾提出“不使用先验信息”估计系统误差方法，即半参数模型 9, 10。本文拟将半参数模型应用于逆泊松积分 6, 11-18，建立逆泊松半参数混合模型，在无外部重力时估计系统误差。1 模型将半参数模型应用于逆泊松积分，建立逆泊松半参数混合模型
12、，可将估计系统误差和向下延拓一步完成。2.1 逆泊松积分向下延拓可被认为是泊松积分的逆运算，球坐标下的泊松积分方程为： 22230 ()(,)4(,)cos;airlandRrgdr(1)， 飞行点和(,)airg(,)landgR地面点的重力异常值。 是地球平均半径。 和 分别是飞行点和=+rRh,地面点的纬度和经度。 为距离。l2coslrR(2)为球面角度。cos=in+()(3)逆泊松积分模型可表示为：1(,)(,)Nair landijjgBgR(4)式中， 设计矩阵， ,2iM ；ijM为空中点数； 是地面点数。是逆泊松积分设计矩阵元素 13, 14, 16, ijB19-21。
13、0221331()4,()-,(,)ciiii Ni j jj irRrllrlrR(5)2203()4,0jijiij ijRrlB(6)网格面积。 是积分点数。 为内jCN0区范围 。1由于实际航空重力数据有限，计算时需将球面积分计算分为远区和近区，近区是以积分点为中心、半径为 的球冠区域，0根据经验本文近区为 ，远区为近似球的剩余部分 。将空中重力异常减去远0区影响得到空中重力异常残差，平差计算得到地面重力异常。2.2 逆泊松半参数混合模型影响观测量的因素可分为两部分：一部分因素与观测量的关系是已知的，可通过经验或数学关系式用参数来表达；另一部分看成对观测量的某种干扰如系统误差，没有理由
14、将其归入偶然误差项。半参数模型的提出正是为了解决此类问题。其模型形式为：LBXS(7)为观测向量。X 为参数向量。 为 n 维偶然误差向量； 是12=sTs系统误差向量， 是某些特定量 的函数。i it设 为区间 上的自然样条函数 22-26。()st1,nt为节点，且 。i（ ） 1intt满足插值条件：(8)()iist航空重力系统误差近似光滑曲线，而自然样条函数可较好拟合曲线函数。半参数模型应用于逆泊松积分时，系数矩阵即为逆泊松积分的设计矩阵。采用补偿最小二乘法，可表示为1221()(“)minntniiSi tLBXstsdt(9)第一项是残差平方和；光滑参数； 较小时，主要贡献是残差
15、平0SS方和，系统误差估计 接近于观测量，极s限情况下，当 时， 趋近于观测量0的直线内插；如果 较大，自然样条补偿S项在上式中起主要作用，这时 有较小的s曲率。第二项代表系统误差补偿项，可表达为：121(“)nt TSStsdtsFG(10)式中， 和 分别是ijFfijg和 阶的矩阵，(2)n()2n矩阵中的元素值由 之间的间隔决定，设it，则1iiht,111,()1,20jijjhijfijoters(11)1/3(),162/,30 iiijihjngjothers(12)是大于零的光滑参数，在参数和自S然样条函数补偿项之间起平衡作用，采用广义交叉核实法 25, 26，公式为：2()
16、1()/TSSVPGCtrHn(13)1()()()TTSHBIMBI(14)其中 ，SPK。1TFG向下延拓值和系统误差估值分别为：1()()TXBIBIL(15)SsPLPX(16)估计系统误差时分两种情况。有外部重力异常时（通常由地面或海面重力异常向上延拓得到，或者实验区域内重力场模型得到） ，传统方法利用外部重力异常求测线偏差；逆泊松半参数混合模型可利用外部重力异常更精确地估计系统误差，详细参见实验步骤。无外部重力异常时，传统方法不能估计系统误差，但逆泊松半参数混合模型可以。它利用自然样条函数表示系统误差，再用补偿最小二乘法和光滑参数的优化算法，无外部重力异常时，估计系统误差和向下延拓
17、一步完成，详细参见实验步骤。2 数值实验2.1 数据说明实验区域为 , 2731N，选择原因：此区域是中外87W专家研究航空重力向下延拓的重要实验地区，它处于陆海交界处，涵盖多种分布类型的重力异常，对研究航空重力向下延拓具有代表性，因此选择此区域。为全面验证方法在山区的有效性，另随机选取某山区进行实验。飞行高度 ，格网大小为 ，向6.3 km6下延拓高度差为 。数据选用EGM08 全球重力位模型（2160 阶次）生成2, 27，模型生成空中重力异常后，加入偶然误差和系统误差，形成仿真空中重力异常值 。偶然误差标准差 ，系hg2 Gal统误差 （实验中称为系统误差真值）simu计算方法参考文献
18、5，统计信息见表 2 和表3。检核值用 EGM2008 模型生成的地面重力异常。表 1：仿真重力异常的统计Tab1: Statistics of simulation gravity anomalies (mGal)最大值最小值 平均值 标准差仿真空中重力异常 hg40.727 -80.192 -9.575 24.212地面重力异常 034.913 -101.751 -29.056 32.644模型空中重力异常（未加入误差）35.037 -84.010 -15.232 24.117图 1：仿真空中重力异常 （图 a）和地面重力hg异常 （图 b）0Fig 1: Simulated air gr
19、avity anomalies (fig a) and hground gravity anomalies (fig b)02.2 实验目的和步骤试验目的三个：在无外部重力时，验证逆泊松半参数混合模型一步估计系统误差和向下延拓的可行性；将逆泊松半参数混合模型与传统航空重力系统误差处理方法比较；将逆泊松半参数混合模型与其它向下延拓方法比较。步骤 1：利用移去恢复理论，取EGM20008 重力场模型的 360 阶作为参考模型，得到参考重力异常 ，从仿真_hrcg空中重力异常 中移去 ，得到残h差空中重力异常 。步骤 2：有外部重力异常时，将仿真重力异常 减去外部重力异常数据（本文hg采用 EGM2
20、008 模型计算的空中重力异常）得到 ，将 代替逆泊松半参_res_hres数混合模型中的观测值，将得到的系统误差与传统方法得到的比较（表 2） 。步骤 3：无外部重力异常时，残差空中重力异常 作为逆泊松半参数混合模型hg观测值，估计系统误差并向下延拓，得到残差地面重力异常 ，利用广义交0_半 参叉核实法搜索平滑参数（见表 4） ，并将得到的系统误差估值与系统误差真值 进simu行比较（表 3） 。步骤 4：无外部重力异常时，使用基于逆泊松积分的正则化算法对残差空中重力异常 向下延拓，得到残差地面重力异hg常 。利用最小二乘配置对残差空0_正 则中重力异常 向下延拓，得到残差地面h重力异常 。
21、在四种方法得到残差0_配 置地面重力异常基础上分别恢复 ，得0_rcg到向下延拓地面重力异常值 ，泊 松， 和 。0_g正 则 0_配 置 0_半 参步骤 5：将向下延拓重力异常 ，0_泊 松， 和 与地面重力0_正 则 0_配 置 0_g半 参异常值 求差（见表 4） 。步骤 6：随机选取某山区（向下延拓高度为 10km，其他参数与实验区域一致）重复实验（见表 5） 。2.3 估计系统误差有外部重力时：传统方法可估计偏差，也就是恒值系统误差，即图 1 中的横线；逆泊松半参数混合模型可精确地估计系统误差，图 1 中红色曲线即为系统误差估值，接近真值 ，在数据统计上（表 3） ，两simu者差值
22、的均值和标准差相差不超过0.1mGal。而无外部重力时，由于无法判定交叉测线、重复测线和相邻测线精度，导致传统方法无法进行系统误差改正。但逆泊松半参数混合模型可以，它首先用自然样条函数为系统误差建模，再利用补偿最小二乘法同时求解参数和系统误差，然后选择无需先验信息的广义交叉核实法确定光滑参数，可较精确估计系统误差（图 1 和表3） 。图 2：系统误差估计值和系统误差真值 simuFig 2: Systematic Errors Estimated Values and True Values表 2：系统误差估计值和系统误差真值统计情况（使用外部重力）simuTab 2: Statistics
23、of Systematic Errors Estimated Values and True Values (with external gravity) simu(mGal)最大值最小值平均值标准差（真值）simu7.882 3.360 5.621 1.306系统误差估计值（逆泊松半参数混合模型）8.066 3.530 5.636 1.314系统误差估计值（逆泊松半参数混合模型）减去 simu0.1964 -0.135 0.015 0.108系统误差估计值（传统方法）3.000 3.000 3.000 0.000系统误差估计值（传统方法）减去 simu-0.360 -4.881 -2.620
24、 1.306表 3：系统误差估计值和系统误差真值统计情况（不使用外部重力）Tab 3: Statistics of Systematic Errors Estimated Values and True Values (without external gravity) (mGal)最大值最小值平均值标准差（真值 ）simu7.882 3.360 5.621 1.306系统误差估计值（逆泊松半参数混合模型）7.628 3.220 5.637 1.408系统误差估计值（半参数模型）减去 simu0.747 -0.815 0.016 0.364系统误差估计值（传统方法） 2.4 向下延拓结果比较和
25、分析不使用外部重力时，进行向下延拓实验，并将不同方法的向下延拓值与地面重力异常值求差，直观比较逆泊松半参数混合模型与其它向下延拓方法。为了验证本方法的效果，设计了 4 个计算方法。方法 1：逆泊松积分向下延拓；方法 2：Tikhonov 正则化向下延拓；方法 3：最小二乘配置向下延拓；方法 4：逆泊松半参数混合模型向下延拓。比较结果参照表 4 和表 5。表 4 中差值平均值最小的为方法 4，方法 1 为 5.619mGal，方法 2 为 2.009mGal，方法 3 为 5.485mGal，而方法 4 的差值为0.006mGal，说明方法 1 和方法 3 受系统误差影响较大，方法 2 受影响较
26、小，方法 4受系统误差影响最小。就差值均方根而言，方法 4 最优，说明减小系统误差影响，可提高向下延拓结果精度。需要补充的是，实验说明方法 2 也可以减弱系统误差影响，但并不能完全剔除。图 3 为方法 1 和方法4 差值分布图和柱状图，亦可以看出消除系统误差影响后（方法 4）结果精度较好，不能消除系统误差影响（方法 1）结果精度较差。表 4：向下延拓值与地面重力异常的差值统计（不使用外部重力）Tab 4: the Statistics of Differences between Downward Continuation Values of and Ground hgGravity Anom
27、alies (without external gravity) (mGal)方法平均值/mGal标准差/mGal均方根/mGal平滑参数正则化参数方法15.619 6.531 8.620 方法22.009 6.333 7.027 3.184 857方法35.485 6.412 8.087 方法40.006 6.252 6.255 1.201 406图 3：向下延拓值与地面重力异常的差值分布（a：方法 4，b：方法 1）Fig 3: the Distributions of Differences between Downward Continuation Values and Ground
28、Gravity Anomalies (a: Method 4, b: Method 1)表 5 为某山区实验结果，方法 1、方法3 受系统误差影响最为严重，方法 2 可减弱系统误差影响，方法 4 受系统误差影响最小。差值均方根而言，方法 4 最小，相比方法 1 和方法 3 已显著改善，方法 2 略大于方法 4。总的来说，在两个地区的实验中。方法 4 中差值均值最小，相比其他方法，系统误差影响改善明显，再次验证方法 4 可估计系统误差并提高向下延拓精度。表 5中向下延拓精度较差的原因：首先是地形影响，当测区为山区时，地形影响增大，向下延拓精度降低；另山区地形起伏大，测量时飞行高度升高，向下延拓高
29、度随之增加（文中实验高度为 10km），也降低向下延拓精度。需要补充的是，在不同地区的实验中，本文应用的逆泊松半参数方法有效估计了系统误差并提高向下延拓精度，说明本文方法在不同类型地区均有效。表 5：某山区向下延拓值与地面重力异常的差值统计（不使用外部重力）Tab 5: the Statistics of Differences between Downward Continuation Values of and Ground hgGravity Anomalies (without external gravity) (mGal)方法平均值/mGal标准差/mGal均方根/mGal平滑参数
30、正则化参数方法16.102 34.473 35.010 方法24.817 29.017 29.415 0.126 791方法36.174 31.921 32.513 方法4-0.550 28.969 28.974 0.00 3183 结语针对现有的航空重力系统误差事后处理方法的缺陷，将半参数模型应用于逆泊松积分，建立逆泊松半参数混合模型，进行仿真实验：（1）无外部重力异常时，逆泊松半参数混合模型可利用自然样条函数为系统误差建模，估计系统误差并向下延拓。（2）本文系统误差估计实验结果：有外部重力时，逆泊松半参数混合模型较传统方法可更精确估计系统误差；无外部重力时，逆泊松半参数混合模型可估计出系统
31、误差，传统方法不可。（3）本文向下延拓方法比较实验结果：逆泊松半参数混合模型不受系统误差影响，向下延拓精度较高；而最小二乘配置和逆泊松积分精度较差；正则化算法可提高向下延拓精度，但无法完全剔除系统误差影响。随着发展，航空重力测量会大量应用于无外部重力异常地区，使用逆泊松半参数混合模型，可较好处理系统误差，逆泊松半参数混合模型中的系统误差建模方法仍值得进一步研究。参考文献（References）1 孙中苗，翟振和，肖云，等. 航空重力测量的系统误差补偿J. 地球物理学报. 2013, 56(01): 47-52.SUN Zhongmiao, ZHAI Zhenhe, XIAO Yun, et a
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