1、深圳市高级中学 2015-2016 学年第一学期期末测试高二理科数学命题人：张红兵 审题人：阮飞燕本试卷由两部分组成。第一部分：期中前基础知识和能力考查，共91分；第二部分：期中后知识考查，共59分。全卷共计150分。考试时间为120分钟。注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。第1卷（本卷共计91分）一选择题：共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每个小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若 ，集合 ，则( )2a3|xBA C DBaBa2. 如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，则复数 的21,zOA,12z值是( )A B C Di21ii21i13. 若 的三边长分别为 ， ， ，则 的形状是( )C325ABA. 定是锐角三角形 B.定是直角三角形C. 一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4. 设 m、n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则 的个充分条件是( )mAm/n, / , B / , /nCm/n ， , / D , ,m5. 若点 P(x,y）坐标满足 ，则点 P 的轨
3、迹图象大致是( )6若实数 满足条件 ，则 的最大值为( ),xy01xy|3|xyA6 B5 C4 D3 7. 椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ，以 为边作正三角形，若21xyab0a1F212椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A B C D232343二填空题（本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.把答案填在答卷卡的相应位置上） 8. 已知 fx是奇函数, 4gxf, 12g,则 1f的值是 .9. 经过双曲线 的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是 .2196y三解答题(本大题共 4 小题,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10.
4、（本题满分 10 分）已知数列 nx的首项 13，通项2nxpq（ ,Npq为常数） ，且 145,x成等差数列，求：（） ,pq的值；（）数列 nx的前 项的和 nS的公式.11. （本题满分 12 分）已知函数 .2()sico)sinfxxx（） 求 的最小正周期；()fx（）若函数 的图 象是由 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移yg()yfx81 个单位长度得到的，当 , 时，求 的最大值和 最小值.x04g12. （本题满分 12 分）在四棱锥 P ABCD 中，PA平面ABCD， ADBC，BC 2AD4，ABCD 10() 证明：BD平面 PAC；() 若二面角 A PC
5、D 的大小为 60，求 AP 的值13. （本题满分 12 分）如图,一抛物线型拱桥的拱顶 离水面高 4 米,水面宽度 米.现o10AB有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过,已知货箱长 20 米,宽 6 米,高 2.58 米（竹排与水面持平）,问货箱能否顺利通过该桥?第卷（本卷共计59分）四选择题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14. 由数字 2，3，4，5，6 所组成的没有重复数字的四位数中 5，6 相邻的奇数共有( )A10 个 B14 个 C16 个 D18 个15. 记 ，则它们的大小关系为( )20162016201
6、6,.8baA B C D以上均有可能baba16. 方程 的实根的个数为( )4923xxA0 B1 C2 D317. 设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(k)满足：当“ f(k) k2成立时，总可推出f(k1)( k1) 2成立” 那么下列命题总成立的是( )A若 f(3)9 成立，则当 k1，均有 f(k) k2成立B若 f(5)25 成立，则当 k5，均有 f(k) k2成立C若 f(7)49 成立，则当 k8，均有 f(k) k2成立ABDCP10 4 OA B D若 f(4)25 成立，则当 k4，均有 f(k)k2成立18. 路灯距地平面为 8 m，一个身高为 1.6
7、m 的人以 84 m/min 的速率从路灯在地面上的射影点 C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为 v 为( )A. B. C. D./s207s/27s/237s/m247五.填空题（本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19某纺织厂的一个车间有技术工人 m名（ N） ，编号分别为 1、2、3、 ;有 n台（ N）织布机，编号分别为 1、2、3、 n.定义记号 ija：若第 i名工人操作了第 j号织布机，规定 ija;否则, 若第 i名工人没有操作第 号织布机，规定0ija.则等式 的实际意义是：第 名工人共操作了 5443241n台织布
8、机. 20 如图，线段 =8，点 在线段 上，且 =2， 为线段ABCABCP上一动点，点 绕点 旋转后与点 绕点 旋转后重合于点 .CB D设 = ， 的面积为 .则 的定义域为 Px PD()fxf； 的解是 . 0)(f六解答题(本大题共 2 小题,共 24 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21. （本题满分 10 分）计算下列积分：（1） ；（2） .21|dx120xd22. （本题满分 14 分）已知函数 agbxf ln)(,)(23（I）若 在 上的最大值为 ，求实数 的值；)(xf1,28（II）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；e, xaxg)2()
9、(2a()在（I）的条件下，设 .对任意给定的正实数 ，曲线 上1,fF )(xFy是否存在两点 ，使得 是以 O 为直角顶点的直角三角形（ 为坐标原点） ，且QP,O此三角形斜边中点在 轴上？请说明理由y ACPB高二理科数学参考答案一选择题：每小题 5 分，满分 60 分1-12 DAACB BCBBC DA 二.填空题：每小题 5 分，满分 20 分13. 2 14. 15.4,5 16. ； 321504xy(2,4)（说明：15，16 两小题，第一空 2 分，第二空 3 分）三解答题：10+12+12+12+10+14=7017. 解：（）由 ， （2 分）又 ，得,31xqpqpx
10、4qpx525得 ， （4 分）解得 p=1,q=1 （6 分）852() （10 分）. )1()( nSnn .)1(21n18. 解：（） = （42)sicosifxxsi4coxx分）所以 的最小正周期为 （6 分）(f()依题意 . （9 分）1)48(4sin2)xxgy 2sin(4)1x因为 ，所以 . 043当 ，即 时， 取最大值 ；2x316x()gx21当 ，即 时， 取最小值 .（12 分）40019. 解： () 设 O 为 AC 与 BD 的交点，作 DEBC 于点 E由四边形 ABCD 是等腰梯形得 CE 1， DE 3，所以2BCAD2DCBEDE ，从而得
11、DBCBCA45，所以BOC 90，即ACBD由 PA平面 ABCD 得 PABD，所以 BD平面 PAC （6 分）() 作 OHPC 于点 H，连接 DH由() 知 DO平面 PAC，ABDCOPHE故 DOPC所以 PC平面 DOH，从而得 PCOH，PC DH故DHO 是二面角A PC D 的平面角，所以 DHO60在 RtDOH 中，由 DO ，得2OH 在 RtPAC 中， 设 PAx，可得 解得 x63PACOH218x36，即 AP （12 分）2121（用空间向量方法的，比照给分）20. 解 :以 O 为坐标原点 ,以过 O 且与水面平行的直线为 x 轴, 以过 O 的铅垂线
12、为 y 轴建立平面直角坐标系. （2 分） 则抛物线方程为 ,点 在抛物线上,解得py2)45(（7 分）货箱的长边为前进方向,宽边和 x 轴重合,从桥洞中心行驶,此时能允yx452许通过的最大高度为 2.562.58, 所以,货箱不可以通过. （12 分）(说明:与此建系方案不一样的比照给分)21. 解：（1） （5 分） （2） （10 分）422. 解：() 由 ，得 ，32fxb2332fxx令 ，得 或 0fx列表如下： 12,00 2,32,13fx0 0 f1()2f递减 极小值 递增 极大值 递减由 ， ， ，即最大值为 ，13()28fb47fb12()(3ff13()28f
13、b （4 分）0b()由 ，得 2gxax2lnxax，且等号不能同时取， ，1,lnel,ln0x即 恒成立，即 2lxa2min()lxa令 ，求导得2,1lntex 2 )l(1xt当 时， ，从而 ，1,xe0ln2,1ln,0xx0tx 在 上为增函数， ， （9 分）t, min1tta()存在.由条件， ，32,lxFa假设曲线 上存在两点 满足题意，则 只能在 轴两侧，yx,PQ,PQy不妨设 ，则 ，且 ,0PtFt32,t1t是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，OQ ， ， 0)(232tt *是否存在 等价于方程 在 且 时是否有解,P*1若 时，方程 为 ，化简得 ，01t232320ttt4210t此方程无解；若 时， 方程为 ，即 ，t*232lntat 1lntta设 ，则 ，1lnhttlhtt显然，当 时， ，即 在 上为增函数，t0t 1, 的值域为 ，即 ，当 时，方程 总有解h1,h,0a*对任意给定的正实数 ，曲线 上总存在两点 ，使得 是以 （ 为ayFx,PQO坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上 （14 分）y
