1、1基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提） ，2 、有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式 ，一个是分式 ，当然axbymnxy会在此基础上进行变形。解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： 的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。yx二、典型题剖析例题 1：（1）已知 ， ，求 的最小值；,xyR21y2xy（2）已知 ， ，求 的最小值；,3（3）已知 ， ，求 的最小值；,xyR2y62xy（4）已知 ， ，求 的最小值；,【解析】这四个题目中， （1）是“1 的替换”的最基础
2、题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值， （2）是将已知值变成了 3，需要调节系数， （3）是已知分式的值求整式的最值， （4）对分式进行等价变换。【答案】 （1） 22()14529xyxy当且仅当 即 时取等号y3（2） 11221() 452433 3xyxy（ ） （ ）当且仅当 即 时取等号y32（3） 132366=()6)9218yxxyx当且仅当 即 时取等号yx+（4）因为 ，所以 ，然后212yx1242=(+y)=8xyx当且仅当 即 时取等号4xy4例题 2：（1）已知 ， ，求 的最小值；,xyR1y23xy（2）已知 ， ，求 的最小值；,21（3）已知 ， ，求
3、 的最小值；,xyR1y23xy（4）已知 ， ，求 的最小值；,23x【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。【答案】（1）整式变形成 ，13xy22132(1)2()()(35 3yxxyxy当且仅当 取等号1=x3（2）222(1)()1()(1)11221
4、xyxyxyxy然后求当 时，代数式 的最小值11xy（3）整式变形成 ，求代数式 最小值235y123xy（4）假设分式变形为 的形式，保证 x 的系数与 y 的系数之比等于整式中的系数之比，2()()xy即 ， ，分式变形为2=+3， 1,=23整式变形为 ，然后求 的最小值。34xyxy例 3：（1）已知 ， ，求 的最小值；,R1xy2（2）已知 ， ，求 的最小值；0,1x【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式， （1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是 的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了y整式，但仔细观察不难发现，其
5、实分母之和为定值。【解析】（1） 当且仅当 时取等号221xyxyx2xy（2）因为 ，然后求 的最小值(1)x三、达标与拓展基础过关（第 15 题）1 若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）xyxy53y44A B C D52452856【解析】 正数 ， 满足 ，xyxy3，153x， 5312531254934 yxyxyxy当且仅当 时取等号x512即 的最小值是y43【 答 案 】 C.2. 已知 均为正实数，且 ，则 的最小值为 ,xy32xyxy【解析】试题分析： ，32327721 7(3) 6yxxxyyxy当且仅当 即 时，等号成立，即 的最小值是 32yx623y2xy
6、2【例 1】 3. 设 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）0，aba3b1abA B C D8414【解析】因为 是 与 的等比中项，所以3ab 1()224ab【答案】B4已知 _.的 最 小 值 是则 bab312,1,0【解析】令 解得，（ )ayx 512yx， babb 32)3(5123125)3(52)(253ba253 ba）（2当 即 取等号.）（ b3a5)2(ba5. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 xy1342xyyx【解析】 实数 ， 满足 ，xyyx142，2yx解关于 的不等式可得 ，yx27142yx故答案为： 714智能拓展（第 610 题）
7、6. 已知 ， ， ，则 取到最小值为 0ab21a1343ab【解析】试题分析：令 ，()()()(43)ab，31542 112312()34()(34)()33455abababab ，当且仅当 时，等号成立，2()25()433ab即 的最小值是 1343ab3567.已知正数 满足 则 的最小值为 ,xy1,12Mxy【解析】 ()()42y则 ，令 ，即 ， 恒成立，由42Mxtx12yxt1()12xyt得 ，02t4M8. 若正数 满足 ，则 的最小值为 .,xyz3456xyz12yzx【解析】 =12213()63xzyz令 ，则 ，即 ，,yzaxb()()452yab132ab原式= 1127()3623ab9.已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 ，当 取0yx， yxmyx m到最大值时 .【解析】恒成立问题，求 的最小值，即为“1 的替换”2答案为： ， ；8，10. 在边长为 1 的正三角形 中， 且 ，则ABC)0(yxACyEBxD， 341xy的最小值等于 .BECD【解析】这是结合向量来解的一个题目， 的最小值为 .BE 621
