1、第 1 页 共 8 页类型二、离散型随机变量的二项分布例 3. 一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑球得 1 分。（）若从袋子里一次随机取出 3 个球，求得 4 分的概率；（）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸 3 次，求得分 的概率分布列。【思路点拨】有放回地依次取 3 次，相当于三次独立重复试验，其得分 服从二项分布，故可用 n 次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。【解析】 （）设“一次取出 3 个球得 4 分”的事件记为 A，它表示取出的球中有 1 个红球和 2 个黑球
2、的情况，则 5)(321CAP （）由题意， 的可能取值为 3456。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.,52取 到 黑 球 的 概 率 为1257)3(CP44236)()5(2158630CP的分布列为3 4 5 6P 12571238【总结升华】本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量 服从二项分布，然后运用 n 次独立重复试验的概率公式计算。注意 n 次独立重复试验中，离散型随机变量 X 服从二项分布，即 (,)XBnp:，这里 n 是独立重复试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率。举一反三：【变式 1】某厂生
3、产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布【答案】依题意，随机变量 B(2，5%)所以，第 2 页 共 8 页P( =0)= 02C(95%) =0.9025， P( =1)= 12C(5%)(95%)=0.095，P( )= (5%) 2=0.0025因此，次品数 的概率分布是 0 1 2P 0.9025 0.095 0.0025【高清课堂：独立重复试验与二项分布 409089 例题 3】【变式 2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 31。（1）求这名学
4、生在途中遇到红灯的次数 的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解：（1） B(5, )， 的分布列为 P( =k)= ， k=0，1，2，3，4，5； : 551()3kC（2） 的分布列为 P( =k)=p(前 k 个是绿灯，第 k+1 个是红灯)= ， k=0，1，2，3，4； P( =5)=P(5 个均为绿灯)= ；()3 52(（3）所求概率= P( 1)=1 P( =0)=1 0.8683.51()34【变式 3】一袋中有 5 个白球，3 个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红
5、球出现 10 次时停止，设停止时总共取了 X 次球，求 X 的分布列及 P（X=12） 【答案】由题意知，X 是取球次数，X=10，11，12，且每次取得红球的概率是 38，取得白球的概率是58，所以 X=k（k=10，11，12 ）表示取了 k 次球，且第 k 次取到的是红球，前（k1）次取得 9 次红球X 的分布列为 91001353()88kkPXC（k=10，11，） ，（表格略）102935(2)8 【变式 4】 某射手击中目标的概率为 0.8，现有 4 发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X 的概率分布【答案】错解： X 的可能取值是 1， 2，3，4P（X=1）=0.
6、8 ； ()0.8.32C；123()0.896；第 3 页 共 8 页134()0.82.056PXC所以 X 的概率分布列为X 1 2 3 4P 0.8 0.32 0.096 0.0256错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件 A 首次发生出现在第 k 次试验中的概率，要使首次发生出现在第 k 次试验，必须而且只需在前（k1）次试验中都出现 A正解 X 的可能取值是 1，2，3，4P（X=1）=0.8 ；P（X=2）=0.20.8=0.16；P（X=3）=0.2 20.8=0.032；P （X=4）=0.2 3=0.008所以 X 的概率分布列为X 1 2
7、3 4P 0.8 0.16 0.032 0.008类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例 4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 34和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；（）假设某人连续 2 次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？【思路点拨】本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【解析】
8、（1）记“甲连续射击 4 次，至少 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，射击 4 次，相当于 4 次独立重复试验，故 P（ A1）= 4265()(38答：甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率为 1 ；(2) 记“乙恰好射击 5 次后，被中止射击”为事件 A3， “乙第 i 次射击未击中” 为事件Di， （ i=1，2，3，4，5） ，则 33421()(4iADPD且 ，由于各事件相互独立，故 35421()()()PAP 5),102答：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是 504 【总结升华】射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。举一反
9、三：第 4 页 共 8 页【变式 1】一名射击爱好者每次射击命中率为 0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于 0.9？ (2)不小于 0.99？【答案】已知 n 次独立射击中至少击中一次的概率为 nnP)8.0(1)2.(1；(1)要使 1(0.8).9nPpX， 0(.8)n,必须 3.lg，即射击次数必须不小于 1n次.(2)要使 9.0)8.(n，必须 64.208.lg1n，即射击次数必须不小于 21n次【变式 2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了 5 次，求：（1）其中只在第一、三、五次
10、击中目标的概率；（2）其中恰有 3 次击中目标的概率；（3）其中恰有 3 次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。【答案】（1）该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了 5 次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为 33108(1)()552P；（2）法一：该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标。相当于 5 次当中选 3 次击中，其余两次未击中，共有 35C种情况。故所求概率为 2516()PC；法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型。该射手射击了
11、 5 次，其中恰有 3 次击中目标的概率为325 16()()5；（3）该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而其他两次没有目标，把 3 次连续击中目标看成一个整体，可得共有 13C种情况。故所求概率为 1324()55PC。【高清课堂：独立重复试验与二项分布 409089 例题 5】【变式 3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印第 5 页 共 8 页有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖 人数 的分布列 .【答案】 （1）设甲、乙、丙中
12、奖的事件分别为 A、 B、 C，那么P(A)=P(B)=P(C)= 6P( :)=P(A)P( )P( )= 152()66:答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 16 分（2） 的可能值为 0,1,2,3P( =k)= 3315()6kC(k=0,1,2,3)所以中奖人数 的分布列为 0 1 2 3P 125625757126例 5在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 23（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 X
13、，求 X 的概率分布【思路点拨】 从正面去分析可知：5 发子弹必须击中 2 次，于是有以下几种情况：第 1 枪击中，第 2 枪也击中；第3 枪击中，前两枪只击中 1 次；第 4 枪击中，前 3 枪只击中 1 次；第 5 枪击中，前 4 枪只击中 1 次而利用对立事件去分析更好理解【解析】 （1）解法一：记 B 表示“引爆油罐” ，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5X=2 表明第一次击中，第二次也击中，24()39PX；X=3 表明前 2 次击中一次，第 3 次击中，128()7C；X=4 表明前 3 次击中一次，第 4 次击中，第 6 页 共 8 页1234(4)37PXC；X=5
14、 表明前 4 次击中一次，第 5 次击中，13526(5)所以， 5482974PB解法二：利用 ()1()PB油罐没有引爆的情况有两种：射击五次，都没击中；射击五次，只击中一次所以54123()3PBC（2）X=2，3，4 时同（1） ，当 X=5 时，击中次数分别为 0，1，25141322()39X所以 X 的概率分布为X 2 3 4 5P 498272719【总结升华】 要特别注意 X=5 的意义，当 X=5 时，表示 5 枪都未中或 5 枪中只中 1 枪或第 5 枪中且前4 枪只中了 1 枪这三种情况，否则 P（X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验举一反三：【变式 1】 假
15、设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1p，且各发动机互不影响如果至少50的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的 P 而言，四发动机比二发动机更安全？【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为223423444(1)(1)6(1)4()CppCp，二发动机飞机成功飞行的概率为1222()()要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要 23426(1)4(1)(1)ppp，化简整理，得 13p当发动机不出故障的概率大于 23时，四发动机飞机比二发动机飞机安全【变式 2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是
16、否接收这批产品。（I）若厂家库房中的每件产品合格率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验，求至少有 1 件是合格的概率。第 7 页 共 8 页（）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任意取 2 件进行检验，只有 2 件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数 X 的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。【答案】（I）记“厂家任意取出 4 件产品检验，其中至少有一件是合格品 “为事件 A，则 4()1()0,2).98PA（） X的可能取值为 0，1，2，21 2737320 0 0365,(,().9 19CCCPXPX所以 的概率分
17、布为 1365357()02901901629EXP商 家 拒 收 这 批 产 品 的 概 率 为所 以 ， 商 家 拒 收 这 批 产 品 的 概 率 为 5例 6某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%现从一大批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布【思路点拨】由于产品数量较大，从中任意连续抽取 2 件产品，相当于是 2 次独立重复试验。抽取的次品件数 服从二项分布，即 B(2，0.05)，算出相应的概率即可得其概率分布。【解析】依题意，随机变量 B(2，5%)所以，P( 0)= 2C(95%) =0.9025，P( 1)= (5%)(95%)=0.095，P( )= 2
18、(5%) =0.0025因此，次品数 的概率分布是 0 1 2P0.90250.0950.0025【总结升华】从产品中有放回地抽取是独立事件；从小数量的产品中无放回地抽取不是独立事件，只能用等可能事件计算；从大批量的产品中任意地连续取出 n 件产品可近似地看成是 n 次独立重复试验。举一反三：【变式】在某批很大数量的产品中，有 20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品的概率。0 1 2P第 8 页 共 8 页【答案】从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于 2 次独立重复试验，抽出的二等品的件数 (2,0.)B，所以取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品的概率： 2(1)().96P。
