1、1降低建模起点 渗透函数思想执教打电话中的数学问题一课教学启示【内容摘要】就如何把握本课的目标并根据学生的认知起点设计教学；如何让学生尝试在解决问题的多种方案中寻找最优方案；如何通过图示、推算等方式发现数量间蕴涵的规律；如何在小学数学中渗透函数和区间的思想，提升学生的思维深度和广度等几方面谈谈自己的想法。关键字：认知起点 模型建构 函数思想数学广角是人教版小学数学教材特有的单元。因为是新增设的内容，所以可以借鉴的经验和方法比较少。由于课时目标不明，在教学实践中有的教师把数学广角上成了简单的游戏活动课或传统的应用题教学课。又因为数学广角中的内容思维含量都比较高，所以教材内容应该怎么挖掘？挖掘到什
2、么深度才是合适的？都是一线教师应该考虑的。笔者通过进一步研读数学新课标，并结合打电话中的数学问题一课对教学目标、教学内容进行梳理和分析，试图结合本课的教学谈一些认识与思考，以期引起一线教师的共鸣与争论。一、有效学习只有立足于学生真实的学习背景下才能取得预定的目标数学新课标指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。面对“打电话”这课实践性和应用性都非常强的特点，必须充分挖掘学生的认知起点，精心设计和创设学习情境，以此来激发学生的学习兴趣。教材第 132 页例题所呈现的是要求学生给 15 人打电话设计方案，考虑到学生的认知起点可能一下子还达不到这样高的要求，所以在试教
3、时我选择了给 7 人打电话设计方案。但是实际教下来并没有如我所料，学生知道给 7 人打电话时间少于 7 分钟，但是要清楚明白地进行表叙或是用图例的方式把打电话的过程表示出来难度非常大。一节课下来参与学习的学生总是那么几个，而更多的学生则是处在一种旁观者的角色。细细考量，问题还是出在学习起点上面。其一：照搬照抄，没有从学生现实的认知起点出发。教参中的课堂实录反映出该班学生厚实的学习基础。从一开始把 15 个学生平均分成 3 组需要 7 分钟，到分成不平均的 3 组需要 6 分钟，进而得出最优化的方案。其学生严密的分析2和精辟的语言将整个探究过程展示得一览无余而不显一丝累赘。虽然已经改成7 人，但
4、本人照搬照抄，忽略了孩子的现实起点，这样不失败才怪！其二：分组的思想禁锢了学生的思维。学生都知道：设计打电话的方案时要进行分组，然后分组进行要比一个一个打节省时间。而殊不知最节省时间、最优化的方案其实并不是将学生分成几组，它其实是一种单线联系的树型设计方案（如图），一个学生接到电话之后接着去通知新的同学，每一个接到电话的同学（包括老师）都继续打电话，关键是让每一个人都不空闲下来，直到通知完所有的同学为止。其三：如何用图示法表示出最优化的打电话过程，是本课教学的突破点。而我在试教中没有进行画图示范，学生当然不会准确地用图示表示怎样才是最省时、最优化的，因此教师示范引导非常重要。基于以上的思考，我
5、再次对设计进行了修改。再一次降低学习起点，将 7人修改成 3 人。给 3 人打电话要求最省时，如果每分钟通知一人，打完电话需要几分钟呢？同学们不难得出 2 分钟就可以。那么怎样才能把这两分钟的打电话过程清楚简洁地表示出来呢？学生很自然地想到用画图的方法来表示，教师就水到渠成地在学生的基础上修改完善。有了这样的铺垫，学生设计给 7 人打电话的方案时就简单多了，能比较容易地在 3 人图示的基础上设计出了给 7 人打电话的过程。事实上经过现场赛课的验证，效果也是非常不错的。【课堂实录一】（1）提出问题，初步感知师：为庆祝新年的到来，育才教育集团一个 3 人的民乐合奏节目要参加省少儿台的节目汇演，俞老
6、师接到通知后要尽快把消息告诉 3 位同学。如果每一位同学都在家，用打电话的方式，每分 钟可以通知 1 人。通知完 这3 名同学一共要几分钟？生 1：一个一个打，需要 3 分钟。生 2：先打给第一位同学，这名同学再通知第 2 位同学，老师同时通知第 3 位。2 333321 1 2345673师：说的非常好！这就是数学中最优化的思考问题的方法。今天我们就是要运用这种方法一起来探讨打电话中的数学问题。 （板书）（2）优化过程，形成图示师：那么怎么样把刚才这位同学说的打电话过程清楚简洁地表示出来呢？ 生：我们可以画图来表示？（学生尝试）教师根据学生的图示在黑板上进行修改和完善。 （如右）师：上面的图
7、形和数字分别代表什么意思？生：长方形代表老师，圆代表学生， “1”表示第 1 分钟通知到的学生， “2”表示第 2分钟通知到的学生。表示接到电话的同学。（3）小组活动，探讨方法师：如果参加这次演出的学生有 7 人。想一想：怎样打电话是最节省时间的？小组合作要求：1）请学着上面的图示法清楚地表示出打电话的过程。2）汇报时请先说出你们设计的方案一共需要几分钟，再具体展开说过程。3）准备好一位同学汇报小组的方案。生 1：第 1 分钟老师通知 1 位同学，第 2 分钟老师和这位同学通知 2 位同学，这样已经有 3 位同学接到通知。那么第 3 分钟的时候， 这 3 位同学和老师就可以通知剩下的 4 位同
8、学，所以 3 分钟就可以完成任务。师：真厉害！居然可以控制在 3 分钟内完成。那么你们能不能用一个算式来表示这 3 分钟通知到的总人数？生 3：1+2+4=7（人）师：谁能说一说这个“1 、2、4”分别代表什么意思？为什么第 3 分钟通知到的是“4人”，而不是 3 人或 5 人？生 4：（根据学生回答把表格填写完整）通知：7 人1111 23教师4第 n 分钟 1 2 3 新增人数 1 2 4 累计人数 1 3 7 1+2+4=7（人） 3 分钟二、模型建构必须建立在学生充分感知形成规律的基础之上得以实现。新课标的教材区别于传统的教材，在内容呈现及模型的建构上提供了更为丰富的背景资料。这不仅有
9、利于学生自主抽象建构出数量之间的基本模型，同时也为其拓宽认识、丰富数量间的关系提供了可能。数量之间的关系不仅仅体现在它的应用性上，而对于知识的探索与理解过程同样蕴含着丰富的教学价值，其模型的建构过程是学生数学学习中渗透数学思想和体验学习方法的有效材料。因此拉长对数量之间的体验与感悟以及模型的建构过程极为重要，这为学生提高解决实际问题的能力提供了有力的保证。所以，要建立模型建构仅仅通过一个或两个问题或情境来实现，显然是不可能的。它需要经历一个抽象、应用、拓展的不断巩固理解和思维螺旋上升的过程。因此在本课的设计中，我进一步追问如果要给 15 人打电话最少需要几分钟？如果是 5 分钟能通知到多少人？
10、如果是 6 分钟能通知到多少人？通过这样的推算过程让学生充分感悟到其中蕴涵的规律。【课堂实录二】（1）充分感知、感悟规律师：按照上面的规律，如果要通知 15 个人，需要几分钟？教师出示学习要求。A、你能学着上面的图示法 继续画一画吗？B、试着用一两句话说明白你 设计的打电话过程。生：独立尝试。5学生上台展示：因为前 3 分钟已经通知到 7 位同学，加上老师第 4 分钟就可以完成给 8 人打电话的任务，所以完成 15 人的任务只需要 4 分钟。师：你能用一个算式表示总人数吗？（根据学生回答将数据一一填写进表）生：1+2+4+8=15（人） 4 分钟师：按照这样的规律，第 5 分钟能通知到多少人？
11、一共可以通知多少人？生：第 5 分钟能通知到 16 人。一共 1+2+4+8+16=31 人。师：那么第 6 分钟呢？生：第 6 分钟能通知到 32 人，一共 1+2+4+8+16+32=63 人。（2）总结提炼，形成模型师：算得这么快。是不是这个数据表中隐藏着一些规律呢？同桌讨论，说说你发现了什么？（同桌交流）生 1：从第 2 分钟起，每 1 分钟接到电话的人数是前一分钟的 2 倍。生 2：从第 2 分钟起，累计人数等于前 1 分钟的累计人数2+1。生 3：累计人数加上下一分钟的新增人数就等于这一分钟的累计人数。生 4：新增人数等于 2n-1,累计人数等于“2 n-1”。（学生说不出教师进行
12、引导）板书：第 n 分钟 1 2 3 4 5 6 新增人数 1 2 4 8 16 32 累计人数 1 3 7 15 31 63 1+2+4=7（人） 3 分钟1+2+4+8=15（人） 4 分钟1+2+4+8+16=31（人） 5 分钟新增人数=2 n-1累计人数=2 n-16（2）根据规律，现场尝试师：如果今天现场来听课的老师有 120 人，按这样的规律打电话，只要几分钟就可以通知到所有的老师？生 1：7 分钟就可以了。算式是 1+2+4+8+16+32+64=127（人） 7 分钟生 2：也可以用 27-1=127（人）师：在生活中找到了最优的方案，在具体实施中还应注意什么？生 1：每个人
13、在接到电话后应明确知道接下去第 1 个要通知谁？第 2 个通知谁？生 2：而且做到不重复、不遗漏。三、中小衔接应该是结合课堂教学适时渗透点到即止的有意行为。学生学习新知的过程，其实质就是新旧知识比较的过程，同时也是对新旧知识进行分析、整合、沟通的过程。而要做好中小衔接，关键是根据学生的学习水平和小学数学内容实际，有意地同相关的中学学习内容建立联系，适时地渗透，但要把握好衔接的“度”点到即止，过早过深都是欲速则不达。小学教材中很多内容就已经蕴含着集合、对应、数形结合、化归、方程、极限等数学思想，这些数学思想和方法，都是中学教学的重点和难点，在小学阶段应适当加强和渗透，建立数学思想的雏形。打电话中
14、的数学问题就是这样一节渗透着函数和区间思想的内容。因此，在本课的教学过程中教师不仅仅要讲清楚各知识点，更需要利用课程资源深化对知识本质的理解，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法。打电话的过程、细胞的分裂过程以及“西塔的故事”其本质就是“呈指数增长”的知识。同时在教学的过程中，笔者以几何画板现场作图演示（如右图） ，数形结合让学生直观形象地感受到什么是“呈指数增长”？进而追问：打电话给 16 人需要几分钟？4 分钟最少可以通知到多少人？最多可以通知到多少人？让学生明白 16-31 人都可以在 5 分钟内完成，适时地渗透函数和区间的思想。【课堂实录三】（1）联系生活、拓展延伸7师：其实生活中还有
15、很多知识可以用打电话的规律来解释？谁来说一说?生：细胞分裂、非法传销活动、 连锁经营等都属于这个问题师：不光是生活中有，很多童话故事里也讲到这样的道理。知识链接：智慧的西塔传说西塔发明了国际象棋而使国王十分兴奋，他决定重赏西塔，西塔说：“ 我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第 1 个格子里放 1 粒，在第 2 个格子里放 2 粒，在第 3 个格子里放 4 粒，在第 4 个格子里放 8 粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到放满第 64 个格子就行了”。国王听完哈哈大笑，说：“好吧， 亲爱的西塔，就给你麦子吧！但是你的要
16、求实在是太低了，去吧，我的侍从会把麦子送到你家的。但是很多年过去了，国王也没有兑现他的承诺。师：聪明的小朋友！你能用今天的知识来解释这个问题吗？生：西塔需要的麦子就是 264-1，具体是多少我并不知道。师：国王应该赏赐给西塔多少粒麦子呢？264-1=18446744073709551615。1 立方米麦子有 142000000 粒。18446744073709551615142000000= 1299 亿 664 万 8406.41 立方米。这无疑是个天文数字，就是把地球上所有麦子加起来也不够用！（2）中小衔接，渗透函数和区间的思想。师：我们把这样的增长叫做“呈指数增长” 。师：打电话的过程其
17、实就是呈指数增长的过程。如果用一个统计图来表示，横轴代表时间，纵轴代表对应的人数。你认为这是一条怎样变化的线？学生：用手势来表示曲线的变化情况。8几何画板现场演示：重点解决“呈指数增长” 和“区间的概念”。师：因为打电话的时间不可能是负数，所以人数也不可能是负数。这条曲线应该是从原点开始的。引导学生感悟“ 呈指数增长 ”：师：打电话给 16 人需要几分钟？生：3 分钟可以通知到 15 人，所以 16 人需要 4 分钟。师：那么 4 分钟最少可以通知到多少人？最多可以通知到多少人？生：最少可以通知到 16 人，最多 31 人。师：是的，16-31 人都可以在 5 分钟内完成。华东师范大学叶澜教授
18、曾经说过：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年反思有可能成为名师”。叶老的这句话无疑验证了一个真理：课后的教学反思无疑是教师改进教学策略，不断提升教学水平的最有效的方法。我有幸能在本次赛课中得到了锻炼，成绩的取得固然可喜，但是更重要的是通过磨课的过程让我真切明白了其中的道理。主要参考书目：（1）小学数学新课程标准（实验稿），北京师范大学出版社，2001 年版。（2）名师同步教学设计，杨淑萍主编，山西教育出版社， 2007 年版。（3）新课标课堂教学设计与案例，人民教育出版社，卢江、 杨刚主编，2007 年版。1 人 3 人 7 人 15人31人63人127 人 255 人 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分 6 分 7 分 8 分
