1、第 1 页 共 15 页山西大学附中 20152016 学年高三第一学期 12 月月考数学试题（理）考试时间：120 分钟 满分：150 分一选择题（本大题共 12题，每小题 5分，共 60分.）1若 ，其中 ， 是虚数单位，则 (C)biia1)2( Ra,i |biaA. B. C. D.2542已知 ， ，则 （ D ）2RyxxyA B C D1,10,10,23下列说法中正确的是（ D ）A “ ”是“函数 是奇函数”的充要条件0ffxB若 ， ，则 ，:px20:pRx2xC若 为假命题，则 ， 均为假命题qpqD “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则61sin61sin4若 ，且0
2、,2（ B ）23costan10， 则A B C D14155执行如图所示的程序框图，输出 ，那么判断框内应填206s（A ）A B 201?k1?kC D6一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ B ）A B 3262C D137 . 已知变量 满足 ，则 的取值范围,xy240yx32xy是（ B ）第 2 页 共 15 页（A） （B） （C） （D）52,5,4245,25,248. 已知 （ ）的展开式中常数项为 ，则该展开式中 的系数61xaxRa2x（ A ）A B C D 2552558(文).对具有线性相关关系的变量 ， ，测得一组数据如下表：xy根据上 表，
3、利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 ，则 的值等于（ B ）10.5yxaA B C D1.522.59已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， 单调递增，()fx,2a0()fx则关于 的不等式 的解集为（ B ）1)(fA B C D随 的值而变化45,33,4,3,1,(a10三棱锥 中， 平面 ， ， ， PCAA1CB3PA，则该三棱锥外接球的表面积为（ A ）A B C D5220411. 如图， 、 是双曲线 （ ， ）的左、右1F1xyaba0b焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于点 、 若l 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）2A B C D4723312
4、等差数列 的前 n项和为 ，且满足 ，a*()nSN150S，160S则 ， ，. ， 中最大的项为（ D ）215A B C D6a7Sa9Sa8Sa二填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）13等比数列 的前 项和 ，则 =_ _.n=+n1第 3 页 共 15 页14. （理）如图，在边长为 的正方形 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概1CA率为 1314.（文） 记集合 ，集合 表2,|16Axy,|40,BxyxyA示的平面区域分别为 若在区域 内任取一点 ，则点 落在区域 中1P2的概率为_ _3415已知菱形 的边长为 ， ，点 ， 分别在边 、 上，BCD212
5、0ADEFBCD， 若 ，则 的值为 EF,E16已知函数 （ ）满足 ，且 的导数 ，则不等式fxRffx12fx的解集为 21fx,1,三.解答题(本大题共 6小题,共 70分.)17 （本小题满分 12分）已知函数 ()2cos3sin2xxf（1）设 ，且 ，求 的值；2、31f（2）在ABC 中，AB=1， ，且ABC 的面积为 ，求 sinA+sinB 的()fC32值解：（1） = = 2()3cosincos2xxfx3(1cos)inxcos36x由 ，得 ，于是 ，因为2cos1662()6kZ， 所以 x、 26x、（2）因为 ，由（1）知 因为ABC 的面积为 ，所以(
6、0)C6C32，于是 在ABC 中，设内角 A、B 的对边分别是 a，b由31sin6ab23ab余弦定理得 ，所以 22cos66b27ab第 4 页 共 15 页由可得 或 于是 由正弦定理得23ab， .， 23ab，所以 sinisin12ABCa 1sin2AB18(文) 如图，直四棱柱 的底面 ABCD 是菱形，ADC= ，1DC 012，点 分别是上下底菱形对角线的交点 1AB1O、（1）求证： 平面 ；A1B（2）求点 O 到平面 的距离CD又 平面 ， 平面 ，1AO1CBD1O1CBD 平面 （2）法一：等积变换ABCD1A1B1C1DOO（第 18 题图）第 5 页 共
7、15 页设点 O 到平面 的距离为 h1CBD 平面 ABCD， 11COAC、BD 为菱形 ABCD 的对角线，COBD ，1DB 平面 在菱形 ABCD 中，BC=1，BCD= ， CO1 0632CO ， ， 的面积1215+42OB1BD12OBDS:三棱锥 的体积 1C1332OBDVSC:在 中， ， 的面积 2,1B174CBDS:由 = ，得 1734CBDVSh:17h因此，点 O 到平面 的距离为 1法二、作垂线 平面 ， 1A1BCD1AB 、 为菱形 的对角线， 1 11DAC ， 平面 11C平面 平面 CBD1A在平面 内，作 ， 为垂足，则 平面 ，线段 的长为1
8、AOHOH1CBDOH点 O 到平面 的距离.在矩形 中， = ，1， ， ， 112sin7 2sin3C273第 6 页 共 15 页 因此，点 O 到平面 的距离为 217OH1CBD21718 （理） （本小题满分 12分）如图，矩形 所在的平面与等边 所在的平面ABEFABC垂直， ， 为 的中点2,1ABFO（1）求证： ；EC（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2）14【解析】试题分析：第一问根据等边三角形，确定出，根据面面垂直的性质，得出 平面 ，从而得出 ，根OCABOCABEFOCE据矩形的边长的关系，得出 ，从而根据线面垂直的判定定理，得出 平FE面 ，
9、从而得证 ，第二问应用平面的法向量求得二面角的余弦值F试题解析：（1）证明：连接 , ，因为 ， 是 的中点，故ABAOCAB又因为平面 平面 ，面 面 ， 面 ，EFABCEFCOBC故 平面 因为 面 ，于是 O又矩形 ， ，所以 AB2A又因为 ，故 平面 ，OFCEFC所以 E第 7 页 共 15 页（2）由（1）得， ，取 的中点 ，以 为原点， 所2ABFEDO,CBOD在的直线分别为 ,xyz轴，建立空间直角坐标系。因为 ，所以， ，于是有AC3， 0,1,0,13,0FE从而 ， ，3C(,2)F设平面 的法向量 ，由 FE(,)nxyz0nCEF得 得 ， 302xyz1,3
10、同理，可求得平面 的一个法向量 ，BC1,0m设 的夹角为 ，则 ，,mncos24n由于二面角 为钝二面角，所以所求余弦值为 FCEB1考点：线面垂直的判定和性质，二面角的余弦值19.（文）(本小题满分 12 分 )某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品 ，称其重量（单位：克）是 否 合 格 ， 分 别 记 录 抽 查 数 据 ， 获得 重 量 数 据 茎 叶 图 （ 如 右 ） . （）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差， 并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（）若 从 乙 车 间 6 件 样 品 中 随 机 抽 取 两 件 ， 求 所
11、 抽 取两 件 样 品 重 量 之 差 不 超 过 2 克 的 概 率 （1）甲相对稳定。 13甲x13乙x，82乙甲 ， ss（2）从乙车间 6 件样品中随机抽取两件，共有 15 种不同的取法：（108，109），（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），第 8 页 共 15 页（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）设 A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”，则 A 的基本事
12、件有 4 种：（ 108，109），（108，110），（109，110），（110，112）故所求概率为 P(A)= .10 分1519.（理）已知一个袋子中有 3个白球和 3个红球，这些球除颜色外完全相同（）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数的分布列和数学期望 ；()E（）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取 3次，求取出红球次数 的数学期望 ()【答案】 （）分布列见解析， ；7()4E（） 3()2E【解析】试题分析：第一问根据题中的条件，确定出 的取值，根据题意，确定出相应的概率，根据期望公式，求得随机变量的期望 ，第二问条件中为有
13、放回的抽取，所以服从()E于二项分布，利用公式求得 试题解析：（） 的所有可能值为 1，2,3,4 2 分，31()62P，36350A，2136()42P 6 分314631()50A第 9 页 共 15 页故 的分布列为12 3 4p0120 8 分37()2124E（）取出后放回，取 3次球，可看做 3次独立重复试验，所以 ，所以1(3,)2B: 12 分()320 （本小题满分 12分）已知椭圆 C的对称中心为原点 O，焦点在 x轴上，左右焦点分别为 和 ，且 ，点 在该椭圆上1F21231,2（）求椭圆 C的方程；（）过 的直线 与椭圆 C相交于 A，B 两点，若 的面积为 ，求以
14、1l 2AFB1272F为圆心且与直线 相切圆的方程20 （本小题满分 12分）已知椭圆 C的对称中心为原点 O，焦点在 x轴上，左右焦点分别为 和 ，且 | |=2，点（1， ）在该椭圆上1F2223（）求椭圆 C的方程；（）过 的直线 与椭圆 C相交于 A，B 两点，若 A B的面积为 ，求以 1l 2F7212F为圆心且与直线 相切圆的方程【答案】 （） ；（） 1342yx 2)1(2yx【解析】试题分析：（）因为| |=2，所以 又点（1， ）在该椭圆上，所以根据1F2c3椭圆的定义可求出 的值，从而求出 （）首先应考虑直线 x 轴的情况，此时abl第 10 页 共 15 页A（-1
15、，- ） ，B（-1， ） ， A B的面积为 3，不符合题意当直线 与 x轴不垂直23232Fl时， 设直线 的方程为 y=k（x+1） 代入椭圆方程得：21|FSrl，用弦长公式可得|AB|= ，用点到直线01248)43(22kxk 243)1(k的距离公式可得圆 的半径 r= ，这样根据题中所给面积可求出 的值，从而2F2|k求出半径，进而得到圆的方程为试题解析：（）因为| |=2，所以 121c又点（1， ）在该椭圆上，所以 23222233()0)(1)0)4a所以 ,ab所以椭圆 C的方程为 （4 分）1342yx（）当直线 x 轴时，可得 A（-1，- ） ，B（-1， ） ， A B的面积为 3，不l 23232F符合题意 （6 分）当直线 与 x轴不垂直时，设直线 的方程为 y=k（x+1） 代入椭圆方程得：l l，01248)43(22kk显然 0 成立，设 A ，B ，则 ，),(1yx),(2 221438kx，221438kx
