1、高三数学（理）摸底试卷第 1 页（共 4 页）开始输入 x0？21yx1yx是 否输出结束通州区 20172018 学年度高三摸底考试数学（理）试卷 2018 年 1 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分考试时间长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷 （选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合 ，集合 ，那么 等于2|0AxxZ1,0BABA B C D,121,022已知点 为抛物线 上一点，那么点 到抛物
2、线准线的距离是2P， 2ypxPA B C D 343一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是 ，那么输入 的值是y1xA 或 2B 或 C 或 D 或 24已知 ，那么“直线 与 垂直”是“ ”的aR1yax42yax12aA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5已知数列 n是公差不为 的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，那么01125数列 a的前 项和 等于11SA B C 或 D 或90 090高三数学（理）摸底试卷第 2 页（共 4 页）6已知 ， ， ，则下列不等式一定成立的是abR0A. B. C. D.1tanb22loglab2ba
3、7已知点 ，点 ),(yxP满足线性约束条件 O为坐标原点，那么2,A0,14,xyO的最小值是A. B. C. D. 10158如图，各棱长均为 的正三棱柱 ， ， 分别为线段 ， 上的1ABCMN1ABC动点，若点 ， 所在直线与平面 不相交，MN1点 为 中点，则 Q点的轨迹的长度是A B 232C D1第卷 （非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上9已知复数 的实部与虚部相等，那么实数 _.2iaa10二项式 的展开式中的常数项是_.61x11在极坐标系中，已知点 是以 为圆心， 为半径的圆上的点，那么点 到极A2,6
4、1A点的最大距离是_.12已知点 的坐标是 ，将 绕坐标原点 O顺时针旋转 3至 ，那么点P43,1PQ的横坐标是_.QNM1B1A1 CBA高三数学（理）摸底试卷第 3 页（共 4 页）13在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示已知小正方形网格的边长为 1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_.14已知函数 无零点，那么实数22xaf的取值范围是_.a三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 （本题满分 13 分）已知函数 . 2sincosi2fxxx（）求 的最小正周期及单调递增区间；（）求 在区间 上的最大值和最小值 f0，
5、16 （本题满分 13 分）某次有 600 人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定 85 分及其以上为优秀. 区间 75，80) 80，85) 85，90) 90，95) 95，100人数 36 114 244 156 50（）现用分层抽样的方法从这 600 人中抽取 20 人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（）在（）中抽取的 20 名学生中，要随机选取 2 名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为 ，求 的分布列与数学期望.X17 （本题满分 14 分）如图，在四棱柱 中， 平面 ,底面 为梯形， 1ABCD1ABCDA， ，/AD212，点 ， 分别为 ， 的中点
6、. PQ1ADQPD1C1B1A1 DCBA高三数学（理）摸底试卷第 4 页（共 4 页）（）求证： 平面 ； /CQ1PA（）求二面角 的余弦值； 1D（）在线段 B上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值是 ，若E1PAC214存在，求 的长；若不存在，请说明理由. E18 （本题满分 13 分）已知椭圆 过点 ，离心率 .210xyab,12e（）求椭圆的方程；（）已知点 ，过点 作斜率为 直线 ，与椭圆交于 ， 两,Pm,0klMN点，若 轴平分 ，求 的值 xMN19 （本题满分 13 分）已知函数 ()lnxaf， .R（）当 时，求函数 ()f的单调区间；0（）对任意的 ， 恒
7、成立，求 的取值范围. 1,xxa20 （本题满分 14 分）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，等比数列 的首项为 ，公比为 . nabnba（）若数列 的前 项和 ，求 ， 的值；23nSa（）若 ， ，且 . Nb2（i）求 的值；a（ii）对于数列 和 ，满足关系式 nmbka=+， 为常数，且 ，求n kN高三数学（理）摸底试卷第 5 页（共 4 页）的最大值. b高三数学（理科）摸底考试参考答案2018.1一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C A B B D C B二、填空题9 10. 11.260312. 13. 14.51,40,2三、解答题15. 解：（
8、）因为 ()sincosfxxin2cosx4 分2i+4所以 的最小正周期 5 分fx.T由 ，得224kk3.88kxk所以 的单调递增区间是 7 分fx ,.Z，（）因为 ，所以 .0,25+,4x所以当 ，即 时，函数 )(f取得最大值是 . 4x82当 ，即 时，函数 x取得最小值 522x5sin14所以 在区间 上的最大值和最小值分别为 和 13 分fx0， 216. 解：（）设其中成绩为优秀的学生人数高三数学（理）摸底试卷第 6 页（共 4 页）为 ，则 ，解得 . x241560015x所以其中成绩为优秀的学生人数为 .5 分（）依题意，随机变量 的所有取值为 ， ， . X
9、02， ， . 2501()9CPX1520()38CP2150()38CPX11 分所以 的分布列为12 分所以随机变量 的数学期望 13 分X152130.938EX17. 解：（）连接 ，因为点 ， 分别为 ， 的中点，PQ1AD所以 ， .1/C1所以四边形 是平行四边形. 所以 1/因为 平面 ， 平面 ，Q1PA1PAC所以 平面 4 分/C.（）因为 平面 , ，1BD1/Q所以 平面 .5 分所以以 为坐标原点，分别以直线 ， 为 轴， 轴建立空间直角坐标系QAPxz，则 轴在平面 内xyzC所以 ， ， ， ，,A10,P2,1,B210所以 ， . 7 分0设平面 的法向量
10、为 ，所以 即1C,nxyz,nPAC10,.xzy2012P8高三数学（理）摸底试卷第 7 页（共 4 页）所以 . 8 分2,41n设平面 的法向量为 ，PAD0,1m所以 42cos, .n又二面角 为锐角，1C所以二面角 的余弦值是 10 分1APD421.（）存在. 设点 ，所以,Ea0,.PEa设 与平面 所成角为 ，所以1C214sinco,.PE所以 ，解得245a 1.a所以 14 分1.BE18. 解：（）因为椭圆的焦点在 轴上，过点 ，离心率 ，x0,12e所以 ， 2 分1b2.ca所以由 ，得 3 分2.所以椭圆 的标准方程是 4 分C21xy（）因为过椭圆的右焦点
11、作斜率为 直线 ，所以直线 的方程是 . Fkll(1)ykx联立方程组 消去 ，得21,ykxy22140.xk显然 0.高三数学（理）摸底试卷第 8 页（共 4 页）设点 ， ， 1,Mxy2,Nxy所以 ， 7 分1224k21.k因为 轴平分 ，所以 . xPMONP所以 9 分0.MPNk所以 所以12.yxm12210.yxmyx所以 1221.kk所以 10xx所以224.1kkm所以 12 分240.所以 k因为 ，所以 13 分.m19.解：（）因为 ， 所以 ，0alnxf0,1,.1 分所以 2 分ln.xf21令 ，即 ，所以 3 分f0l0.xe令 ，即 ，所以 4
12、分xnx1所以 在 上单调递增，在 和 上单调递减. f,e,1,e所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 . x,e,01,e5 分（）因为 ，所以1ln.x0高三数学（理）摸底试卷第 9 页（共 4 页）因为 ，所以对任意的 ， 恒成立，即 恒成立. 1,xfxlnxa等价于 恒成立. 7 分lna令 ，所以 9 分lgxxl.xg2令 ，所以lnh2.hx1所以当 时，x1.hx0所以 在 上单调递增. 所以 11 分,.hx10所以当 时，xgx所以 在 上单调递增. 所以1, .gx所以 13 分.a20.解：（）因为 ，23nS所以 1 分12.因为 0a所以公差 3 分2.b（）证明：因为 ， ，1nab1nba又 ，23a所以 2.b因为 ， 均为正整数，且 ， ，ab所以 1.所以 ， 6 分2a3.又 ，所以b1.高三数学（理）摸底试卷第 10 页（共 4 页）当 ， 时，有 ，产生矛盾. 3a4b21342+ab所以 10 分2.（）因为 ，所以 1.nmkb所以 12 分1.nkb因为 ， 均为正整数， 为常数，k所以当且仅当 时， 有最大值是12nb2.k所以 的最大值是 14 分b.
