1、西北大学第三届微课教学比赛教学设计方案作品标题 函数曲线的凹凸性 所属学科及专业 理科-数学类所属课程 高等数学 相关知识点 凹凸性、二阶导数授课对象高等院校数学及工科类各专业学生授课时长 14 分 30 秒参考教材章节位置高等数学第七版上册(同济大学数学系编)第 3 章 微分中值定理与导数的应用3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性3.4.1 函数单调性的判定法3.4.2 曲线的凹凸性与拐点教学目标 (1) 知识技能目标：1. 通过抽象曲线凹凸性的定义，了解凹凸性的背景，建构其认知基础；2. 通过几何直观体会凹凸性概念的基本思想，从而理解掌握判别凹凸性的几何法，并能用代数法判定凹凸性；3. 通过
2、定理的证明培养学生知识迁移的能力，以及观察、比较、抽象、概括的能力。(2) 数学方法目标：通过问题驱动式的启发教学以及凹凸性的对比讲解，探究体会曲线凹凸性的几何判定法和代数判定法中所蕴含的数形结合、形象思维与逻辑思维相结合的数学思想方法。(3) 情感态度目标：1. 通过生活实际问题引入曲线凹凸性，让学生认识到数学在实用性方面的力量,感受到数学在哪里，美就在哪里；2. 通过几何直观抽象概括出凹凸性的概念及其判别法，培养学生勇于探索新知的科学态度，从而激发学生学习数学的兴趣。教学重点 理解掌握凹凸性的四种判别方法：包括两种几何法(考察弦与弧的位置关系、切线与曲线的位置关系)和两种代数法(利用定义、
3、二阶导数的符号)。2教学难点 凹凸性概念的抽象过程、利用二阶导数判定凹凸性的几何解释和定理证明。教学方法 (1) 生活实际问题引入概念，提高学生的求知欲；(2) 以问题驱动，讲练结合，利用凹凸性的四种判别方法解答同一道例题，巩固知识，并突出对凹凸性概念的引导和分析，渗透数形结合的数学思想；(3) 以多媒体课件为主，板书为辅，采用连续启发式教学，遵循循序渐进的认知规律，自然地层层推进教学。在教学中将形象思维与逻辑思维相结合，以笑脸类比凹曲线，以哭脸类比凸曲线，并以此启发学生记忆二阶导数判别法的结论。教学过程(七个步骤)一、创设情境，兴趣导入通过高山滑雪视频和黄河、山路的图片这些生动的实例引导学生
4、注意到画面中勾勒出的线条，抽象类似的线条为曲线 ABC，并将其放入直角坐标系中分析。显然，曲线 AB 和BC 都是单调递增的，但它们单调递增的弯曲方式有所不同。这说明：仅用单调性来描述曲线的性态是不够的，需要进一步去考察曲线的弯曲方向。给出凹凸性的粗略定义：曲线 AB 是向上鼓鼓的，称它是上凸的，简称凸的；曲线 BC是向下鼓鼓的，称其是上凹的，简称凹的。设计意图： 创设贴近生活的问题情境，反映数学的应用价值，结合形象思维与逻辑思维，如利用典型的象形文字“凸”和“凹”形容曲线的弯曲方向，培养学生兴趣，激发学习热情。二、几何分析，归纳方法将曲线 ABC 以 B 为分割点分成两部分，以笑脸 和哭脸
5、刻画凹曲线和凸曲线。1.由弦与弧的位置关系得判别法一如果曲线上任意两点连线的弦总在所相应弧的上方，那么称曲线是凹的；如果曲线上任意两点连线的弦总在所相应弧的下方，那么称曲线是凸的。32.由切线与曲线的位置关系得判别法二假设曲线在所考虑区间上任一点的切线均存在。如果曲线上任意一点的切线均在曲线的下方，那么曲线是凹的；如果切线均在曲线的上方，那么曲线是凸的。例 1：判定 y=x3 的凹凸性。利用凹凸性的判别法一和二，结合图形，得出结论。设计意图： 通过几何直观和对比观察研究，引导学生探索并归纳出判别曲线凹凸性的两种几何法，建构凹凸性的认知基础。三、数形结合，概念讲授问题提出：如何用准确的数学语言来
6、描述曲线的凹凸性呢？概念探索：假设曲线所相应的解析式为 ，在曲线上任取两点 A、B，得弦 AB。设()yfxA、B 两点的横坐标分别是 ，在 轴上取 的中点 ，过该中点做 轴12x、 12、 12xx4的垂线，分别交弧 AB 于 C 点，弦 AB 于 D 点。C 点在曲线上，所以它的纵坐标是，D 点在弦 AB 上，它是 AB 的中点，所以 D 点的纵坐标是 。 12xf 12()fxf对比左右两张图可以发现，如果曲线是凹的，那么 C 点总在 D 点的下方；如果曲线是凸的，C 点总在 D 点的上方。启发学生通过 C 点和 D 点的位置关系来判别凹凸性。而 C 点和 D点的横坐标相同，因此可以通过
7、 C 点和 D 点纵坐标的大小关系判别凹凸性。如果 C 点的纵坐标小于等于 D 点的纵坐标，则曲线是凹的；如果 C 点的纵坐标大于等于 D 点的纵坐标，则曲线是凸的。3.由定义得判别法三 121212()(),(),fxIIxfxffIf x设 在 区 间 上 连 续 ， 如 果 对 上 任 意 两 点 ,恒 有 那 么 称 在 上 的 图 形 是 (向 上 )凹 的 ； () 那 么 称 在 上 的 图 形 是 向 上定 义 ： 凸 的 .例 2：判定 y=x3 的凹凸性。利用定义和作差比较法来解答，即通过比较曲线上任意两点中点的函数值与这两点函数值的平均值的大小来判别。设计意图： 通过对比
8、观察分析，并结合凹凸曲线的几何特征归纳出曲线凹凸性的定义，引导学生以数形结合的方式加深理解凹曲线与凸曲线的代数意义。四、连续启发，层层推进问题提出：对于一些比较复杂的函数，利用定义去判别凹凸性在计算时往往会出现困难，需要寻求更加有效的方法来判别。于是，进一步考察曲线的切线。引导学生思考问题：如果曲线是凹的，随着自变量 的增大，切线的斜率会有什么样的变化呢？x5问题分析与教学方法： ()()0fxfx凹 曲 线 切 线 斜 率 单 增 单 增 凸 曲 线 切 线 斜 率 单 减 单 减对比观察切线，逐层发问，采用连续启发式教学进行推导，让学生自解其惑。问题提出：能否根据函数的二阶导数的符号来判定
9、函数所对应的曲线的凹凸性呢？4.由定理得判别法四 () ,) (,) 0() , ;fxCabyfxab 定 理 ： 设 在 内 具 有 一 阶 和 二 阶 导 数 那 么若 则 曲 线 在 上 是 凹 的 (), (,) . f若 则 曲 线 在 上 是 凸 的证明定理： 引导学生利用泰勒公式证明上述定理。联想记忆： 二阶导数大于等于零，这让我们联想到正能量，此时就会出现笑脸 ，所以曲线是凹的；二阶导数小于等于零，就会让我们联想到负能量，此时就会出现哭脸 ，所以曲线是凸的。例 3：判定 y=x3 的凹凸性。利用定理，即通过判别二阶导数的符号来解答。设计意图： 1. 采用连续启发式分析问题，更
10、有利于学生对该定理几何解释的掌握。层层推进的教学方式，使学生对数学知识的学习更具趣味性。2. 通过证明定理，训练和培养学生的逻辑思维能力，使学生寻找新旧知识之间的联系，从而能够更好地理解定理，并形成言之有理，论证有据，治学严谨的素养。3. 利用笑脸和哭脸来联想记忆结论，从而将形象思维与逻辑思维相结合。五、小结概念，总结方法61. 引导学生梳理知识，巩固重点难点，运用数形结合的思想强化理解凹凸性的概念。2. 构建本节知识结构，回顾四个判别凹凸性的方法。六、板书设计，条理清晰力求条理清楚，便于学生从整体上认识、理解曲线凹凸性的概念及其判别方法。函数曲线的凹凸性：刻画曲线的弯曲方向七、教学反思，教学
11、特色1. 本课运用多媒体课件辅助课堂教学，通过创设情境，由高山滑雪者的运动轨迹以及黄河山路的实例引入，并将其抽象为直角坐标系中的曲线，从而进一步引入刻画曲线弯曲方向的凹凸概念。引导学生对凹凸曲线进行对比观察分析，采用连续启发式、问题驱动的教学方法，促进学生积极思维，主动学习。2. 引导学生归纳出判别凹凸性的四种方法：包括两种代数法和两种几何法，即，考察弦与弧的位置关系、切线与曲线的位置关系、利用凹凸性定义、以及判定函数的二阶导数的符号。在课程设计上突出对凹凸性概念的引导和分析，渗透数形结合的数学思想。3. 在教学中将形象思维与逻辑思维相结合，以笑脸类比凹曲线，以哭脸类比凸曲线，并以此启发学生记忆二阶导数判别法的结论。4. 选择比较简单的定理证明方法，引导学生搭建新旧知识的桥梁，让学生更容易理解和掌握新知识，从而达到训练思维的作用，并形成言之有理，论证有据，治学严谨的素养。75. 运用同一道例题巩固知识，便于学生对四种判别法的理解与掌握。6. 本课结束时回到开篇时滑雪者采用的凹凸路径，并将其升华到人生弯路的哲学意义，引导学生认识数学中的凹凸之美。
