1、 东北育才学校高中部20142015 学年度高三第八次模拟考试理科数学试题使用时间：2015.5.18 命题人：高三数学备课组第卷(选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合 40 xNA的真子集个数为 A.3 B.4 C.7 D.82.已知 z是复数 的共轭复数， 0z，则复数 z在复平面内对应的点的轨迹是A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线3.已知向量 a32,0， b3,1，则向量 a在 b上的正射影的数量为 A. 3B. C.D.4等差数列 n中， 564a，则 10122log
2、() A.10 B.20 C.40 D. 55已知 1a， 2()xf，则使 )fx成立的一个充分不必要条件是A. 0x B. 1 C. 0 D. 1x6 459()( 展开式中， 3项的系数为 A.120 B.119 C.210 D.2097.已知双曲线 ),0(2babya的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍，则其渐近线方程为 A. 0xB. xC. 034yxD. 04yx8.“五一”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“抚顺三块石国家森林公园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率
3、 A. 15 B 190 C 180 D 1360 9.下列对于函数 ()3cos2,(3)fxx 的判断正确的是 A.函数 的周期为 B.对于 ,aR 函数 ()fxa 都不可能为偶函数C. 0(,3)x ,使 0()4fx D.函数 ()fx 在区间 5,24 内单调递增10.若实数 y,满足不等式组301y，则 |zy的取值范围是 A.1,3 B., C. , D. 1,11.直角梯形 ABCD，满足 22ACDBACD,现将其沿折叠成三棱锥 ，当三棱锥 体积取最大值时其外接球的体积为 A. 2 B. 43 C.3 D.4 12.设过曲线 xfe（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线
4、为 1l，总存在过曲线 cosgxa上一点处的切线 2l，使得 12l，则实数 a 的取值范围为 A.1, B. (1,2) C., D. (,)第卷(非选择 题共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上13.一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为_14.已知过定 点 2,0的直线 l与曲线 2yx相交于 A， 两点， 为坐标原点，当 A的面积取到最大值时，直线 l的倾斜角为 15已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3， 7， a， b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为 10，若要使该总 体的方差最小，则 ._16.
5、若数列 na满足 211,nna， N，且 1nnba，12PbnnS，则 nPS= .三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 ,BC 的对边分别为 ,abc ，已知 5sin13B ，且 ,abc 成等比数列.（）求 1tant 的值；（）若 cos2,B 求 ac 的值.18 （本小题满分 12 分）如图，在 AC中，已知 ,45O在 AB上，且 ,32ABOC又PO平面 1,/,2BDPOP.（）求证： 平面 ；（）求二面角 的余弦值19(本题满分 12 分)浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯
6、”投掷飞镖比赛每 3 人组成一队，每人投掷 一次假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功” （靶面正方形 ABCD如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数 xysin的图像） 每队有 3 人“成功”获一等奖，2 人“成功” 获二等奖，1人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四 等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响 ） （ ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（ ）设 X为某队获奖等次，求随机变量 X的分布列及其期望PD O BxyAC20(本题满分 12 分)已知曲线 1C：214xy， 曲线 2C：21(0)4xy.曲线 2的左顶
7、点恰为曲线 的左焦点.()求 的值；()设 0(,)Pxy为曲线 2上一点，过点 P作直线交曲线 1C于 ,两点. 直线O交曲线 1于 BD两点. 若 为 A中点， 求证：直线 C的方程为 02y； 求四边形 的面积.21. (本题满分 12 分)已知函数 2(ln,fxaxR.()讨论函数 的单调区间；()已知 0a，对于函数 ()f图象上任意不同的两点 12(,)(,)AxyB，其中21x，直线 AB的斜率为 k，记 ,0Nu，若 BN求证 .fuk 请考生在第 22-24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示，A
8、C 为O 的直径，D 为弧 BC 的中点，E 为 BC 的中点()求证：DE AB；()求证：AC BC= 2ADCD23(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以原点 为极点，以 x轴正半轴为极轴，圆 C的极坐标方程为 42cos(（）将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点 P(,0)作斜率为 1 直线 l与圆 C交于 ,AB两点，试求 1PAB的值.24、 （本大题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 axf（）若 m的解集为 5,1，求实数 ma,的值；（）当 2a且 0t时，解关于 x的 不等式 2xftf东北育才学校高中部2
9、0142015 学年度高三第八次模拟考试理科数学答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上13.1682 14. 30 15. 100 16.2三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：（1）依题意， 2bac ，由正弦定理及 5sin13B ，得5sinsi19ACB.3 分1cosin
10、()sintatsii 5AC6 分(2)由 12知， 0 ，又 5sin3B， 3 8 分从而 2cosba 10 分又余弦定理，得 22()cosaB ，代入，解得 37 . 12 分18解：（）设 1,2,1OAPDA则 ， 由 /,DP平面 BC，知 平面 ,BCO.从而2在 中 P为直角三角形，故 P3 分又 ,45OCBA， ABO又 平面 ,ABP平面 ,， C平面故 .PDCO O PD平面 .CO6 分（）以 ,B所在射线分别为 ,xyz轴，建立直角坐标系如图则由（）知， (2,0)(,)(02)(,1),(,1,3PDCBD由（）知 平面 ,OP是平 面 CO的一个法向量，
11、设平面 B的法向量为 020(,),3nCxynxyzzD，令 1，则 ,(1,)，10 分2cos, 1|Pn由图可知，二面角 BDCO的余弦值为 .12 分 19解：（ ）由题意知： 10矩 形S，2sin520xd阴 影.2 分记某队员投掷一次 “成功”事件为 A，则 1)(矩 形阴 影SAP.4 分（ ）因为 X为某队获奖等次，则 X取值为 1、2、3、4.5)1(5)1(03C， 125)(5)(2CP，248)()(13XP， 64)(1)4(303X.9 分即 X分布列为：10 分所以， X的期望 5172641583215E 12 分20解：（） 4 .2 分（） 可得 00(
12、,),(,)BxyDxy由21OPACbka0000:()()2xyy即 02xy 0,， :ACl符合 02xy .2 分 解法一：联立方程0214xyy2002()40xyy即 20048x 201ACACxy220014816xyy2084xy,BD到 距离 122200,ddxxy12()2SA4当 0y时 ABCD面积也为 4 .12 分 解法二：1 2 3 4)(P51512548256联立方程0214xyy2002()40xxyy即 20048x 201ACACxy220014816xyy2084， O到 距离 204dxy ABCDAOCS当 0y时 BD面积也为 4 .2 分
13、 解法三： 00(,)(2,),(2,)Pxxyxy20By， 1A， :BDlA到 D的距离为 02xyd， 又 2011012,4xy，222010101211018()()()xxyxy则 0y. 又 P为 AC中点，则 0120212 4xySdBDxy. .2 分 21解; ()fx的定义域为 (,)211 axf当 0a时， ()0fx在 (,)上恒成立， ()fx在定义域内单调递增；当 时，令 ,f解得， 184ax（舍负）则 18(0,)4ax时， ()0f， ()f单调递增；(,)时， ()fx， ()f单调递减；综上， 0a时， (f的单调递增区间为 0,； 时， )fx的单调递增区间为 18(,)4a， ()f的单调递增区间为 (,) .5 分（2）证明：2221 11lnlnyxaxak212l()x122(,0),)(,)NuAxyBAN12 (u，又 ()1fxa， 2121()()()xf ax212121ln() ()()fuk10,()0aaxx
