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1、智浪教育-普惠英才文库历年(95-10)年全国数学竞赛( 联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30 道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 A62 B63 C 64 D651995 年全国初中数学联赛试题答案: D详解:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一又由AB2AD 2 25 260 2 5 2(5 212 2)5 2132(3 24 2)132 39 252 2 BC 2CD 2故可取BD65为直径,得周长为65,选D2. 设AB是O 的一条弦,CD 是O 的直径,且与弦AB相交,记M S CABS DAB, N2S

2、 OAB,则 AMN B MN C MN DM、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性,设CEED ,在CE上取CF ED,则有OFOE ,且S ACES ADES AEF2S AOE同理, SBCES BDE2S BOE相加,得S ABCS DAB2S OAB,即MN 选 B详解2: 若过C、D、O 分别作 AB的垂线(图3),CE AB、DFAB、OL AB,垂足分别为E、F、L连CF、DE,可得梯形CEDF又由垂径分弦定理,知 L是EF 的中点根据课本上做过的一道作业:梯形对角线中点的连线平行底边,并且等于两底差的一半,有CEDF2OL即M N选B

3、3如图,A 是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB 是圆 O的切线,B是切点,弦BCOA,连结AC,则阴影部分的面积等于 1996年全国初中数学联赛试题答案: B4如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的 A内心 B外心 C重心 D垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 A4 个 B8个 C 12 个 D24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在 ABC 中,已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线,并且 BDCE,BD=4,CE=6,那么ABC 的面积等于( )

4、()12()14()16()181998 年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连 ED,则 又因为 DE 是 ABC 两边中点连线,所以 故选 C7一个凸 n 边形的内角和小于 1999,那么 n 的最大值是( ) A 11 B12 C13 D14 1999 年全国初中数学竞赛答案: C8在三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的一点,已知 AC=5,AD=6,BD=10,CD=5 ,那么三角形 ABC 的面积是( ) A 30 B36 C72 D125 1999 年全国初中数学竞赛答案: B9在正五边形 ABCDE 所在的平面内能找到点 P,使得 PCD 与BCD 的面积相等,并且ABP 为

5、等腰三角形,这样的不同的点 P 的个数为( )A 2 B3 C4 D5 1999 年全国初中数学竞赛答案: D10. 设 a,b,c 分别是ABC 的三边的长,且 ,则它的内角A、 B 的关系cba是( )。(A)B 2A;(B)B2 A;(C)B 2A;(D)不确定。2000 全国初中数学竞赛试题答案: B详解: 由 得 ,延长 CB 至 D,使 BDAB ,于是 CDa+c ,在cbacabABC 与DAC 中,C 为公共角,且 BC:ACAC:DC,ABCDAC, BACD, BADD,ABCD BAD2D2 BAC。11. 已知ABC 的三边长分别为 a,b,c ,面积为 S,A 1B

6、1C1 的三边长分别为 a1,b 1,C1 面积为 S1,且 aa 1,bb 1,cc 1 则 S 与 S1 的大小关系一定是( )。(A)SS 1;(B)S S 1;( C)SS 1;(D)不确定。2000 全国初中数学竞赛试题答案: D详解: 分别构造ABC 与 A1B1C1 如下:作 ABCA1B1C1,显然 ,即 SS 1;设 ,则 ,S10, ,则 S1 10010,即 SS 1;设 ,则 ,S 10,则 ,S 110,即 SS 1;因此,S 与 S1 的大小关系不确定。12如下图所示,A+ B+C+D+E+F+G=( ). (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 72

7、0 2003 年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题答案: C详解: 如图所示,B+BMN+ E+G=360,FNM+ F+A+C=360,而BMN +FNM =D180,所以A+B+C+D+E+F+G=540.13四条线段的长分别为 9,5,x,1 (其中 x 为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如上图),则 x 可取值的个数为( ).(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D) 6 个2003 年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题答案: D详解: 显然 AB 是四条线段中最长的,故 AB=9 或 AB=x。(1)若 AB=9,当 C

8、D=x 时, , ;22)51(93当 CD=5 时, , ;x14当 CD=1 时, , .22 5(2)若 AB=x,当 CD=9 时, , ;)(当 CD=5 时, , ;22915xx当 CD=1 时, , .17故 x 可取值的个数为 6 个.14如图所示,在ABC 中,DE ABFG,且 FG 到 DE、 AB 的距离之比为 1:2. 若ABC 的面积为 32,CDE 的面积为 2,则CFG 的面积 S 等于 ( ).(A)6 (B)8 (C)10 (D)122004 年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题答案: (B)详解: 由 DEABFG 知, CDECAB,CDE C

9、FG,所以,4132CABDES又由题设知 ,所以21FAD,31ADF,C4故 ,于是DCF, .412CFGDES8CFGS因此,结论(B)是正确的.15. 如图,有一块矩形纸片 ABCD,AB 8,AD6. 将纸片折叠,使得 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,则 CEF 的面积为( )FABCDEEA BCDD CBAA.2 B.4 C.6 D.82005 年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案: A16.已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心,A 1,B 1,C 1 分别是点 I 关于边 BC,CA,AB 的对称点.

10、 若点 B 在 A1 B1 C1 的外接圆上,则ABC 等于( )A.30 B.45 C.60 D.902005 年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案: C17RtABC 的三个顶点 A,B,C 均在抛物线 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜2xy边上的高为 h,则( )(A)h22006 年全国初中数学竞赛试题答案: B详解: 设点 A 的坐标为(a , a2),点 C 的坐标为(c,c 2)(|c|a|),则点 B 的坐标为(a,a 2),由勾股定理,得 ,2)()(aA, 22)()(cBC 2AB所以 a由于 ,所以 a2c 2=1,故斜边 AB 上高 h= a2 c2=12a故

11、选 B18如图,正方形 ABCD 内接于O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,交 AC 于点 Q若QP=QO,则 的值为( )QAC(第 5 题图)A BCDOOQP(A) (B) (C) (D)1323223232006 年全国初中数学竞赛试题答案: D详解: 如图,设O 的半径为 r,QO=m,则 QP=m,QC=rm ,QA=rm在O 中,根据相交弦定理,得 QAQC=QPQD即 ( r m)(rm)=mQD ,所以 QD= mr2连结 DO,由勾股定理,得 QD2=DO2QO 2,即 , 解得222rrr3所以, 13mrQAC故选 D19已知 ABC为锐角三角形, O经过点 B,C ,且与边 AB,AC 分别相交于点 D,E 若 O的半径与 E的外接圆的半径相等,则 一定经过 ABC的( )(A)内心 ( B)外心 (C )重心 (D)垂心“数学周报杯”2007 年全国初中数学竞赛答案: (B)

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