1、固原一中 2015 届高三年级第三次模拟数学(理)试卷 2015.5.27本试卷分第卷(选择题)和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 22 题第 24题为选考题，其它题为必考题。第卷一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1. 已知集合 03|2xA， ,1aB，且 BA有 4 个子集，则实数 a的取值范围是（ ）. )3,0( B. ),1( C. ),( D. ),3()1,(2.已知命题 :,2lgpxRx，命题 :xqRe，则（ ）A.命题 q是假命题 B.命题 pq是真命题C.命题 ()是假命题 D.命题 ()
2、是真命题 3. 函数 )4sin2co4s2inlog1 xxy的单调递减区间是（ ）A. Zkk),83,( B. Zkk),85,(C. D. ,34.数列 na是正项等比数列， nb是等差数列，且 67ab，则有 ( )A 39410 B 39410a C ab D 与 b大小不确定5. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出 的值是（ ）kA.5 B.6 C.7 .86. 1,3O, 0,OA:点 在 AOB内，且0C，设 mnR，则 nm等于（ ）A 31 B3 C 3 D 37.函数 ()sin)()2fx其 中 的图象如图所示，为了得到 sinyx的图象，只需把 y的图象上所有点（
3、 ） A.向左平移 6个单位长度 B.向右平移 12个单位长度 C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度8若 A为不等式组0,2xy表示的平面区域，则当 a从2连续变化到 1 时，动直线 a扫过 A中的那部分区域的面积为 ( )1 B 3 C 34D749. 多面体 MNAD的底面 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 （ ）A 163 B 6 C 203 D 610. 若两个正实数 yx,满足 14，且不等式 myx342有解，则实数 的取值范围是（ ）. )4,1( B. ),()1,( C. . 011
4、.已知双曲线2:13xy的左，右焦点分别为 1F， 2，过点 2 的直线与双曲线的右支相交于 P， Q两点，且点 P的横坐标为 ，则 1PQ的周长为（ ）A16B 5 C43D 4312设函数 ()fx在 R上存在导数 ()fx， R，有 2()fxf，在 0,上()f，若 484m，则实数 m的取值范围为（ ）A.-2， B.2+， C. +0， .-2+， ， 第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案写在横线上.13.设等比数列 na中，前 n 项和为 nS，已知 38， 67S，则 789a 14. 10)(x 展开式中 3x的系数为_15.某班有 50
5、名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 N（105，102） ，已知E ADCB第 18 题图P（95105）=0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 16. 定义：如果函数 )(xfy在定义域内给定区间 ,ba上存在 0x)(ba，满足abfxf)(0，则称函数 )(xfy是 上的 “平均值函数” ， 0是它的一个均值点，例如 2xy是 1,上的平均值函数， 0就是它的均值点现有函数mf3)(是 上的平均值函数，则实数 m的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）如图，中国渔民在中国
6、南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东 60方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民此时， C 地位于中国海监船的南偏东 45方向的 10 海里处，中国海监船以每小时 30 海里的距离赶往 C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？( 1.41， 1.73， 2.45)2 3 618.（本小题满分 12 分）如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形 AE所在的平面互相垂直 AB CD， ， 2， （1）求证： E；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；（3）线段 上是否存在点 F，使 / 平面 F？若
7、存在，求出 EF；若不存在，说明理由.19.（本小题满分 12 分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出 N 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间90，100内的学生人数为 2 人。（1）求 N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在70，100的三组学生中用分层抽样的方法抽取 12 名学生进行复试，若成绩在80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为 12，设成绩在80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为 ，求 的分布列和数学期望.20（本小题满分 12 分）已知抛物线 C： y22 px(p0)
8、的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且| QF| |PQ|.54(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、 N 两点，且 A、 M、 B、 N 四点在同一圆上，求 l 的方程21. （本小题满分 12 分）己知 ,其中常数 ()lnxfae0a（1）当 时,求函数 的极值；aex（2）若函数 有两个零点 ,求证： ； ()yf1212,(0)x12xaa（3）求证： 21lnxx请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,22. （本小题满分
9、 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE,都是圆 O 的割线,已知 AC=AB.（1）求证： FGAC:；（2）若 1,4,D求 E的值23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知椭圆 C： ,直线 （t 为参数）.2143xy3:2xly（1）写出椭圆 C 的参数方程及直线 的普通方程；l（2）设 ,若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 的距离相等,求点 P 的坐(0)A l标.24 （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明设函数 ()fxa（1）若 的解集为 R,求实数
10、a 的取值范围；()51fx（2）若 的解集为 ,且 ,求证： .021(0,)mn24mn1. 已知集合 03|2xA， ,1aB，且 BA有 4 个子集，则实数 a的取值范围是（ ）. )3,0( B. ),(1 C. ),0( D. ),3()1,(2.已知命题 :,2lgpxRx，命题 :1xqRe，则（ ）A.命题 q是假命题 B.命题 pq是真命题C.命题 ()是真命题 D.命题 ()是假命题 3. 函数 )4sin2co4s2inlog1 xxy的单调递减区间是（ ）A. Zkk),83,( B. Zkk),85,(C. D. ,34.数列 na是正项等比数列， nb是等差数列，
11、且 67ab，则有 ( )A 39410 B 39410a C ab D 与 b大小不确定5. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出 的值是（ ）kA.5 B.6 C.7 .86. 1,3O, 0,AO:点 在 AB内，且0C，设 mn,R，则 nm等于（ ）A 31 B3 C 3 D 37.函数 ()sin)()2fx其 中 的图象如图所示，为了得到 sinyx的图象，只需把 y的图象上所有点（ ） A.向左平移 6个单位长度 B.向右平移 12个单位长度C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度8若 A为不等式组0,2xy表示的平面区域，则当 a从2 连续变化到 1 时，动直线xy
12、a扫过 中的那部分区域的面积为 ( )1 B 3 C 34D749 多面体 MNAD的底面 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 （ ）A163B 6 C203D10. 若两个正实数 yx,满足 14，且不等式 myx342有解，则实数 的取值范围是（ ） A. )4,1( B. ),(),(C. D. 3011.已知双曲线2:13xy的左，右焦点分别为 1F， 2，过点 2 的直线与双曲线的右支相交于 P， Q两点，且点 P的横坐标为 ，则 1PQ的周长为（ ）A163B 53 C43D 4312设函数 ()fx在
13、R上存在导数 ()fx， R，有 2()fxf，在 0,上()f，若 484m，则实数 m的取值范围为（ ）A.-2， B.2+， C. +0， .-2+， ， 13.设等比数列 na中，前 n 项和为 nS，已知 38， 67S，则 789a 1 14. 10)(x 展开式中 3x的系数为_-75_E ADCB第 18 题图15.某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 N（105，102） ，已知P（95105）=0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 9 16. 定义：如果函数 )(xfy在定义域内给定区间 ,ba上存在 0x)(ba，满足abfxf)(0
14、，则称函数 )(xfy是 上的 “平均值函数” ， 0是它的一个均值点，例如 2xy是 1,上的平均值函数， 0就是它的均值点现有函数mxf3)(是 上的平均值函数，则实数 m的取值范围是 3(,4 如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在 A 地侦察发现，在南偏东60方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民此时，C 地位于中国海监船的南偏东 45方向的 10 海里处，中国海监船以每小时 30 海里的距离赶往 C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？( 1.41， 1.73 ， 2.45)2 3 6解 如
15、图，过点 A 作 ADBC，交 BC 的延长线于点 D.因为CAD45，AC10 海里，所以ACD 是等腰直角三角形所以 ADCD AC 105 (海里)22 22 2在 RtABD 中，因 为 DAB60，所以 BDADtan 605 5 (海里)2 3 6所以 BCBD CD (5 5 )海里6 2因为中国海监船以每小时 30 海里的速度航行，某国军舰正以每小时 13 海里的速度航行，所以中国海监船到达 C 点所用的时间t1 (小时)，AC30 1030 13某国军舰到达 C 点所用的时间 t2 0.4(小时) BC13 5(r(6) r(2)13 5(2.45 1.41)13因为 0)的
16、焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF| |PQ|.54(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点，且 A、M 、B 、N 四点在同一圆上，求 l 的方程解 (1)设 Q(x0,4)，代入 y22px 得 x0 .8p所以|PQ| ，|QF| x 0 .8p p2 p2 8p由题设得 ，p2 8p 54 8p解得 p 2(舍去)或 p2.所以 C 的方程为 y24x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 xmy1(m0)代入 y24 x，得 y2
17、4my4 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y 24m， y1y24.故设 AB 的中点为 D(2m21,2m)，|AB| |y1y 2|4(m 21) m2 1又 l的斜率为m，所以 l的方程为 x y2m 23.1m将上式代入 y24x，并整理得 y2 y4(2m 23)0.4m设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则 y3y 4 ，y3y44(2m 23)4m故设 MN 的中点 为 E( 2m 23， )，2m2 2m|MN| |y3y 4| ，1 1m2 4(m2 1) 2m2 1m2由于 MN 垂直平分 AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于 |AE|BE
18、| |MN|，12从而 |AB|2|DE| 2 |MN|2，14 14即 4(m21) 2( 2) 2(2 m )2 ，2m2 2m 4(m2 1)2(2m2 1)m4化简得 m21 0，解得 m1 或 m1.所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy 1 0.21. （本小题满分 12 分）己知 ,其中常数 ()lnfae0a（1 ）当 时,求函数 的极值；aex（2 ）若函数 有两个零点 ,求证： ； ()yf1212,(0)x12xaa（3 ）求证： 21lnxx【答案】 （1）极小值为 0,无极大值；（2 ）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）用导数研究极值；（ 2）先需要明确函数 有两个零点时 所满足()yfxa的条件,只需 不恒大于或等于零,因为当 趋近于 0 或趋向于 时时函数值为正,()yfxx
