解排列组合应用题的策略.DOC

1、 第 1 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略解排列组合应用题的策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数,ABCDE,ABA有A60 种 B48 种 C36 种 D24 种【答案】D【解析】把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 种. , A42

2、A【变式 1】7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 种不52480同的排法 乙甲 丁丙【变式 2】某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 【解析】没命中的 4 枪有 5 个空，连续的命中的 3 枪捆绑到一起，和单独命中的一枪插空，共有种方法.250A【解析 2】用列举法列举出来1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32. 相离问题插空

3、排:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.第 2 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A1440 种 B3600 种 C4820 种 D4800 种【解析】除甲乙外，其余 5 个排列数为 种，再用甲乙去插 6 个空位有 种，不同的排法种数是5A26A种，选 .52630【变式 1】一个晚会的节目有

4、 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【解析】分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的5A6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 46 546A种【变式 2】某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30。【解析】 2630A3. 定序问题缩倍（空位插入）法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. 五人并排站成一排

5、，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的,BCDEBA,B排法种数是A24 种 B60 种 C90 种 D120 种【解析】 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一A半，即 种，选 .51602【变式 1】7 人排队，其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法？【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73/A(空位法) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共47有 1 种坐法，则共有

6、 种方法。4A思考:可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法)先排甲乙丙三个人 ,共有 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 种方法，所以共有37C4A种排法.347CA定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理第 3 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略【变式 2】10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？【答案】 （10 人中选 5 人，排到前排，选出来之后身高确定，因此位置确定，后排的 5 人位置510C也就确定了）4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例

7、 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A6 种 B9 种 C11 种 D23 种【解析】先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9 种填法，选 .B5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5. 有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是A1260 种 B2025 种 C252

8、0 种 D5040 种【解析】先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 .21075CC【解析 2】 4205C【变式 1】12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有 A 种 B 种 C 种 D 种41284128343128A41283CA【答案】A6. 全员分配问题分组法:例 6. 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？【解析】把四名学生分成 3 组有 种方法，再把三组学生分配到三所学

9、校有 种，故共有24C3A种方法.2346CA说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【变式 1】5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A480 种 B240 种 C120 种 D96 种【答案】B第 4 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略【解析】 （5 人分 3 组较难，后期有试题加入）2450CA7. 名额分配问题隔板法:例 7. 10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可

10、以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.6984C一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班8. 限制条件的分配问题分类法:例 8. 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安48A排其余学生有 方法，所以共有 ；若乙参加而甲不参加同理也有 种；若甲乙都参加，38A3 8A

11、则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 种，共有 方法.所以共2287有不同的派遣方法总数为 种. 4328740【分解】甲乙都不选 160甲乙都选，第一步 （其他 8 人选 2 人）28C第二步甲去西宁： ，甲不去西宁3A1A所以 23128()9甲参加乙不参加 380乙参加甲不参加 1C所以不同派遣方法总数为 1680+392+1008+1008=40889. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9. 由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 将 n

12、个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 1mnC第 5 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略A210 种 B300 种 C464 种 D600 种【解析】按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 个，5A个，合并总计 300 个,选 .131313142,AB【变式 1】从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？【解析】被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被

13、 7 整除，将这 100 个数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 共有 14 个元素,不能被 7 整除的,14298AL数组成的集合记做 共有 86 个元素；由此可知，从 中任取 2 个元素的取法有1,2340ALA，从 中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有214C1486C种.18695【变式 2】从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？【解析】将 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 ；,0IL ,8120AL能被 4 除余 1 的数集 ，能被 4 除余 2 的数集 ，能被 4

14、除余 3 的数1,597B2,69C集 ，易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从 中任取两个数符合要；从3,7D中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所,BC以符合要求的取法共有 种.2125510. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 10. 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】老师在中间三个位置上选一个有 种，4 名同学在其余 4 个位置上有 种方法；所以共13A4A有 种。.14372A11. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为

15、一排考虑，再分段处理。例 11. 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是 A36 种 B120 种 C720 种 D1440 种【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 种，6720A选 C.【变式 1】8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法【解析】8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 种,再排后244 个位置上的特殊元素丙有 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 种,则共有14A5A第 6 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略种2154

16、760A前 排 后 排【变式 2】有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 【解析】两人都在后排： （空座位 10 人，11 个空，两人坐椅子插入空位）210A都在前排：都在左或者都在右 236一左一右： 14C前后两排： 29A所以不同排法的种数是 110+12+32+192=34612. 圆排问题单排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的nn排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于

17、只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认1232341,;,;,nnnaaaLLL为相同， 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列.! 1n例 12. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即 ！ 7HFDCABDEAEGHGF【变式 1】6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究.一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)

18、!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 mnA第 7 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略【解析】5602A【变式 2】5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？【解析】首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐4A姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 种不同站法.52768说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法.nm1mn13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法

19、共有A140 种 B80 种 C70 种 D35 种【解析 1】逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选. 3394570C【解析 2】至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1台；故不同的取法有 台,选 .21254C14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 14. 四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中每次排

20、324C个有 种，故共有 种.34A234CA【变式 1】9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？【解析】先取男女运动员各 2 名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有254C2A种.25410CA15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15. 以正方体的顶点为顶点的四面体共有A70 种 B64 种 C58 种 D52 种【解析】正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但 6 个表面和 6 个对角面的48C四个顶点共面都不能构成四面体，所以四

21、面体实际共有 个.125【变式 1】四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 A150 种 B147 种 C144 种 D141 种第 8 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略【解析】10 个点中任取 4 个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，410C每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；646过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是种.4106314C16. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素

22、的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法.nmnm例 16. 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？【解析】完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案.6【变式 1】某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 【变式 2】某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8717. 复杂排列组合问题构造模型法:例

23、 17. 马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 种方法,所以35C满足条件的关灯方案有 10 种.【说明】一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.【变式 1】某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）18. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 18. 设有编号为 1，2，3，4，5 的五个

24、球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？【解析】从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用25C枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为 种.20一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排

25、队模型，装盒模型等，可使问题直观解决第 9 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略5343 号盒 4 号盒 5 号盒 19. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 19. 30030 能被多少个不同偶数整除？【解析】先把 30030 分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数 2 必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.01234532CC【变式 1】正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？【解析】因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点

26、构成的四面体有 个，所以 8 个顶点可连成4125C的异面直线有 358=174 对.20. 利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 20. 圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？【解析】因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个.410C 410C【变式 1】某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实

27、线表示马路，从 到 的最短路径有多AB少种？【解析】可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段，向AB北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种.47C【变式 2】25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果第 10 页（共 12 页）解排列组合应用题的策略种？【解析】将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵，现从中选 3 人，要求 3 人不在

28、同一行也不在同一列，有多少选法这样每行必有 1 人，从其中的一行中选取 1 人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有 种。再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55132C方队中选取 3 行 3 列有 选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的53 人有 选法。152C21. 平均分组问题除法策略例 21. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？【解析】分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若264C第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF

29、),则 中还有(AB,EF,CD),24C(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种3A分法,故共有 种分法。2364/A【变式 1】将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？（ ）542138/CA【变式 2】10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）【变式 3】某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为

30、_（ ）226/90CA22. 合理分类与分步策略例 22. 在一次演唱会上共 10 名演员，其中 8 人能能唱歌，5 人会跳舞，现要演出一个 2 人唱歌 2人伴舞的节目，有多少选派方法【解析】10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员2C种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 种，由分类计数原理共有12534C 25种。12534C平均分成的组,不管它们的顺序如何, 都是一种情况,所以分组后要一定要除以 ( 为均分的组n数)避免重复计数。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题