1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷第 5 题图KS5U2015 福建省高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设全集 ，集合 ， ，则 ( )RU1Mx或 |02Nx()UNMA B C D|21x|1|1x2. 已知圆 :Oy及以下个函数： 3()f； ()tanf； ()sin.fx其中图像能等分圆 C面积的函数有（ ）A 3个 B. 个 C. 1 个 D. 0个 3已知直线 和平面 ，其中 ， ，则“ ”是“ ”的（ ,abab/b/）A充分不必要条件
2、 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线 上，x 2yx则 等于（ ）sin2A B C D53535455运行如图所示的程序框图，则输出的结果 S 为（ ）A.1007 B.1008 C.2013 D.20146某教研机构随机抽取某校 个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，20以组距为 将数据分组成 , , , ,5515201, , , 时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ） 203437.已知曲线 : 和 : ，且曲线 的焦点分别为 、 ，点 是 和 的一1C
3、32yx2C12yx1C1F2M1C2个交点，则 的形状是（ ）2FMA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D都有可能8在高校自主招生中，某校获得 5 个推荐名额，其中清华大学 2 名，北京大学 2 名，复旦大学 1 名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )A20 B.22 C.24 D. 36高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷侧侧侧侧侧侧 22229已知 ,abc均为单位向量，且满足 0abA，则 ()(bcaA的最大值为（ ）A B. C. D. 123322
4、5210设 ,nA 为集合 1,Sn 的 个不同子集 4n，为了表示这些子集，作 n行 列的数阵，规定第 i行与第 j列的数为,jijaA则下列说法正确的个数是( )数阵中第 1 列的数全是 0 当且仅当 1;数阵中第 n列的数全是 1 当且仅当 nS;数阵中第 j行的数字和表明元素 j属于 12,n 中的几个子集;数阵中所有的 2个数字之和不小于 ;数阵中所有的 个数字之和不大于 .A5 B. 4 C3 D. 2二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在相应横线上.）11已知 423401 2421(1)()()(),aaaxxxAA则 _ 12. 利用计算机
5、在区间（0，1）上产生两个随机数 a,b，则方程 bx有实数根的概率是_ 13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_.14若 对任意的 都成立，则 的最小值 为 xax21sin2,012a15如图，A 是两条平行直线之间的一定点，且点 A 到两条平行直线的距离分别为1,3MN。设 ABC, ,且顶点 B、C 分别在两条平行直线上运动，则 B的最大值为_.三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分 13 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用
6、水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准用水量不超过 a 的部分按照平价收费，超过 a 的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷ABECDP(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月
7、均用水量不超过（II)中最低标准的人数为 x，求 x 的分布列和均值.17.（本小题满分 13 分）世界大学生运动会圣火台如图所示,圣火盆是半径为 1m 的圆,并通过三根长度相等的金属支架 ( 是圆上三等分点)将其水平放置,另一根金属123,PA123A支架 垂直于地面,已知圣火盘的圆心 到地面的距离为 m,四根金属支架的总长度为 m.PQOy（）设 ,请写出 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域；3()Orady（）试确定定点 的位置，使四根金属支架总长度最短.18.（本小题满分 13 分）如图所示，四边形 为直角梯形， ， ， 为等边三角形，且平面ABCDCDAB/ABE平面 ， ， 为
8、 中点ABE22P（1）求证： ；（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值；（3）在 内是否存在一点 ，使 平面 ，如果存在，求 的长；如果不存在，说明理由 QPQ19.（本小题满分 13 分）已知抛物线 C的顶点为坐标原点,其焦点 ,0Fc到直线 l20xy的距离为 32.（）求抛物线 的方程;A1QPA2A3O高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷（）若 M是抛物线 C上异于原点的任意一点，圆 M与 y轴相切. （i）试证：存在一定圆 N与圆 相外切，并求出圆 N的方程；（ii）若点 P是直线 l上任意一点， ,AB是圆 上两点，且 AB，求 PAB的
9、取值范围. 20.（本小题满分 14 分）已知函数 。()lnfx（）若函数 在点 处的切线与直线 平行，求实数 的值21()hfxa(1,)h410xya（）对任意的 ，若不等式 在,0a2faxb上恒成立，求实数 的取值范围0,1xb（）若函数 与 的图像关于直线 对称，设()ygx()fy，试根据如图(,),AaB， ,()2aNgab所示的曲边梯形 的面积与两个直角梯形 和 的面CDADMNCB积的大小关系，写出一个关于 和 的不等式，并加以证明。b21本题设有（1） （2） （3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题做答，满分 14 分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时
10、，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换设矩阵 1aMb（）若 ，求矩阵 M 的逆矩阵 ；23， 1（）若曲线 C： 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 ： ，求 的值24xyC21xyab（2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程y xMCDOABN高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷已知曲线 C1： （ 为参数） ，曲线 C2： （ t 为参数） cosinxy，2xty，（1）指出 C1， C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数；（2）
11、若把 C1， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 写出 的参数12C， 12C，方程 与 公共点的个数和 C 公共点的个数是否相同？说明你的理由 21与（3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ,ab为正实数.（）求证2ab；（）利用（）的结论求函数 的最小值.2(1)(01)xyx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷KS5U2015 福建省高考压轴卷理科数学答案一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）CBADA ABCCB二、填空题：（本大题共
12、 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在相应横线上.）11. 40 12. 13. 4 14. 15. 1321三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（本小题满分 13 分）解: （） 3 分（）月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位，占样本总体的 20%，由样本估计总体，要保证 80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.6 分（）依题意可知,居民月均用水量不超过（）中最低标准的概率是 45，则 (3,)XB， 31(0)(52PX，12P
13、C348()()5， 346()(5129 分分布列为 X0 1 2 3P284511 分 412()35EX答：人数 x 均值为 .13 分17解：（）由题意可得， 4 分31cos(3cs)3siniinyAQA由 可得 ，所以 6 分13cos0inAtan,)62（） 7 分222(3)cos1csiiy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷令 ，得 ， 存在 ，使得 8 分0y1cos30(,)6201cos3当 时， ，当 时，6yy故当 时， 取最小值11 分0此时，点 到地面的距离 12 分Pcos23in4Q答：当点 到地面的距离为（ ） 时
14、，四根金属支架总长度最短.13 分24m18.解：（1）证明如下：取 的中点 ，连结 ，ABOD,E因为 是正三角形，所以 .ABE因为四边形 是直角梯形， ， ，CD12C=AB/C所以四边形 是平行四边形， .O/又 ，所以 .又因为 ,所以 平面 ，=IABODE所以 .4ABE（2)因为平面 平面 ，所以 平面 ，C所以 .D如图所示，以 为原点建立空间直角坐标系 . O则 ， ， ， ， ，(10),(10),-(1),(0),-(30)E,所以 , ， =Aur=3E-ur设平面 的一个法向量为 ，则 ，1n1()x,yz1DA=urn10yzx-=+令 ，则 , ,所以 .1z1
15、x3y13,同理可求得平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，BCE2=(0),-EBC则 ，所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .9 分cos12=n7ADEBC7（3）设 ，因为 ，2(0)Qx,y13()2P,-所以 ， , .21P,+ur =(0ur(31),-ur依题意得 即0CDQE=r，213()0x,y,-+解得 ， .符合点 在 内的条件.21x-23yQABEABECDPyxzO高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷所以存在点 ，使 平面 ，此时 .13 分13(0)2Q,-PQCDE3PQ=19.解：() 依
16、题意,设抛物线 的方程为 24ycx,由 02结合 0c,解得 1. 所以抛物线 的方程为 . 4 分() （i）设圆 M与 y轴的切点是点 ,连结 M交抛物线 C的准线于点 ，则 1Fr，所以圆 与以 F为焦点， 1 为半径的圆相切，圆 N即为圆 ，圆 的方程为 2xy;8 分(ii)由 AB可知， AB为圆 N直径，9 分从而 22137PPN所以 PAB的取值范围是 7,2.13 分20、解（） ，依题意得： 即 ，故21()(0)xahx(1)4h22a的值为 4 分a2（）由不等式 对任意的 恒成立，则 ，由2lnb1,2max(ln)bx函数 在 上为单调递减，21()xax1,0
17、amax1()ln问题转化为不等式 在 上恒成立，7 分2ln,x令 ，则 。2()lnGxx2(1)()20Gmax3()(1)2G 的取值范围为 9 分b3b（）由题意得曲边梯形 的面积小于与两个直角梯形 和 的面积的和，ABCDADMNCB用不等式表示为 10 分11()()()()4242bxa ababedgg高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷即 11 分21()4abbabee证明： 等价于(ae221()4bababaee令 ，则设02x)()xxF由 得1()(12xFee(2xFe 即()(0x )0 即xx22()4bababae 14
18、 分1()4babaee另证：设 ，则 ，,lnlm2(0)bmn不等式 等价于 11 分()ababee 1(2)l4mn即 令 ，则只要证 即11lnln42()t(1lntt又令 ，则 即2(1)l0tt()l1tmt2(1)0tm()0mt 14 分2(4abbabee21（1） （I）当 时，M 的行列式 det(M)=-5，故所求的逆矩阵 . 3 分2,3ab 1253M（II）设曲线 C 上任意一点 ，它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点(,)Pxy，则 ，即(,)Pxy1bayxb，又点 在曲线 上，所以 ，则 ， 2122()()1aybxy即 为曲线 C 的方程，2(
19、)(4)()axy又已知曲线 C 的方程为 ，22比较系数可得 ，解得 ， . 7 分21ba0a， 2b（2）压缩后的参数方程分别为高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷： （ 为参数） ； ： （ t 为参数） 1Ccosin2xy， 2C24xty，化为普通方程为： ： ， ： ，6 分1241x212x联立消元得 ，20其判别式 ，7 分()所以压缩后的直线 与椭圆 仍然只有一个公共点，和 与 公共点个数相同2C1 1C2（3） （）证明： 0,ab，由柯西不等式得 2 2baab等号成立当且仅当 ba，即 .所以2ab.4 分（）解： 01,0x由（）知， 21xyx，当且仅当 x，即 时等号成立.所以函数 2101xy的最小值为 1. 7 分
