1、12015 年重庆一中高 2017 级高一下期半期考试数 学 试 题 卷 2015.5数学试题共 4 页，共 21 个小题 满分 150 分考试时间 120 分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案 书 写在答题卡规定的位置上4.所有题目必须在答题卡上作答，在 试题卷上答题无效一、选择题.(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
2、). 1.已知等差数列 满足 ，则 （ ）na682a5A.3 B.6 C. 8 D. 122.已知向量 ，若 ，则实数 的值是（ ）)3,(),1(xbbxA. 6 B. C. D. 623233.实数 满足 ，则 的最大值为（ ）yx,0142yyxz2A.2 B. C. 7 D.8 74.若 ，则 的最小值是（ ）1x14xA. B. C. D.43215.（原创）在圆 内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是O（ ）A. B. C. D. 2456.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两
3、个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第 16 题（满分 13 分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图所示，其中 ，已知甲组数据的中位数比乙组数据3,210,yx 甲组 乙组9 6 0 7 83 3 1 1 3xy（第 6 题图）280 90 100 110 120 130 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm 频率/组距 （第 12 题图） 的平均数多 ，则 的值为（ ）59yxA. B. C. D.4317.（原创） 为非零实数，已知 且 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）ba, 0abA. B. C. D. 22ln)l(ba1
4、)2(1ab8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出 ，则判断框内应填入的条件是（ 054s）A. B. C. D. 2015n2015n2014n2013n9.（原创）已知 的三个内角 满足 ，则ABC,ABCBAsi4cos5（ ）Cta)(tA. B. C. D. 20152015201410710.（原创）已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则, 325的最小值是（ ）.)(,23)(RttA. B. C. D. 43233二填空题.(本大题共 5 小题，共 25 分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的 的值为 ；T 结束,0s1n )1(ns
5、输出 s开始否是？0T2Iwhile 4IEndwhilePRINT TEND（第 11 题图）317,5,39,11,13,15,1731,29,27,25,23,21,1933,35,37,39,41,43,45,47,4912.对大量底部周长 （单位：cm）的树木进行研究，从中随机抽出 200 株树木并130,8测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的 200 株树木中，有 株树木的底部周长小于 100cm；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上 8：00 至 8：30 之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山
6、健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15 分钟；若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10 分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知 且 ，若不等式 对任意 恒成立，Ryx,32yx ayx)2( Ryx,则实数 的取值范围是 ；a15.（原创）已知 ，将数列 的项依次按如图的规律“蛇形排列”成*,1Nnnna一个金字塔状的三角形数阵，其中第 行有 个项，记第 行从左到右的第 个数m12mk为 ，如 ，),21(, *kmkbm9
7、,544,3b则 （结果用 表示）.k,三解答题.(共 6 小题，共 75 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.（13 分）（原创）学生“如花姐”是 2015 年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢人数 500 200 100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的 800 名观众中抽取一个容量为 n的样本，若从不喜欢“如花姐”的 100 名观众中抽取的人数是 5 人.（1）求 的值；n（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的 5 人中恰有 3 名男生（记为 ）2 名31,a
8、4ABCDNM女生（记为 ），现将此 5 人看成一个总体，从中随机选出 2 人，列出所有可能的结21,b果；（3）在（2）的条件下，求选出的 2 人中至少有 1 名女生的概率.17.（13 分）（原创）若数列 的前 项和 ，数列 是等比数列，且na2nSnb.521,ab（1）求 及 ；n（2）记 ，求数列 的前 项和 .ncncnT18.（13 分）（原创）如图，已知菱形 的边长为 2， ， 分别为ABCD120BDNM,上的点， ，记 .CDB, )1,0(,NBMba,（1） 当 时，求 ；21ba（2）若 ，求 的值.ba19.（12 分）（原创） 中，内角 的对边分别为 ，若边 ，且
9、ABCB, cba,2.baAsini2sini（1）若 ，求 的面积；2)(A（2）记 边的中点为 ，求 的最大值，并说明理由.BM20.（12 分）（原创）已知二次函数 .0,)(2aRcbxaxf（1）是否存在 使得 对任意 恒成立？若存在，求出RcbNa,* 1相应的 的值；若不存在，请说明理由.c,（2）当 时，若关于 的方程 的两根满足 ，试求xxf2)()2,1(),0(1x的取值范围.)1(4)()1(2bccb21.（12 分）（原创）已知数列 的前 项和为 ，满足nnS，2),(6511SSnn5，且 ，数列 满足 .*Nn5,12bna,1 *121 ,2)( Nnbba
10、nn （1）证明：数列 是等比数列；31n（2） 求证： （ 是自然对数的底数，*21 ,)1()() Nneaa e）.718.e命题人：黄正卫审题人：王中苏2015 年重庆一中高 2017 级高一下期半期考试数 学 参 考 答 案 2015.5一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10 题：记 ， ，则 的夹角为 ，且mn2m,1503n配凑可得：2)(1)(3)( ttt 22 450cos)1()1( nntt 43)21(3)1(2mtt令 ，则上式 . Rumtu,)2( 6)4(322uu二填空题：6 ，80 ， ， ， .74),1为 偶 数为 奇 数mkbkm ,12,三解
11、答题. 16.（13 分）解：（1）抽样比例为 ，故 ；10540505n（2） ，共 10 种可能的结果；, 21312213212 bababa（3）记事件“选出的 2 人中至少有 1 名女生”为 ，则A，其含有 7 种结果，故, 231121baA 107)(P（或解： 表示两个都是男生，包含 3 个结果， ）31)(617.（13 分）解：（1） 时， ，又 满足此式，2n121nSan 11Sa故 ，于是 ，而 等比，故 ；*,2Nan9,321bnb3（2） ，由错位相减法，有：nnbc)(nnnT )12(3)(531 132 3 13n两式相减，得： 132 )(2 nnnT，
12、因此 .112)(33n6)(1n *1,3)(NnTn18.（13 分）解：（1）当 时， 分别为 的中点，2NM,CDB,法一： 此时易得 且 的夹角为 ，baa,0于是 ；36cos)( 222 b法二： 由余弦定理易求得 ，故 ；3BD321BDNMAa（2） ba )()(NAMAN NAB21(2)21( ，故 .)(419.（12 分）解：因为 ，故 ，2c abcaBbCcBaA22sinisini由余弦定理可得 ；6021os2bcaC（1） AAB cosin2)sin()si(in)i(sin ，即 或AB0cosco或 90B当 时， ， ， ，90A3032b321b
13、cSAC7当 时， 为等边三角形， ；BAC 360sin21ABCS（2） 法一： 由于 ，故)(21M )(41)(422 abBM因为 ，故由余弦定理知 ，于是60,c ab1CM而 ，故 ，故 ，442abba32C3max（当且仅当 ）时取等.c法二： 中，ACM 2241cos2122 bbA因为 ，故由余弦定理知 ，60,2c 82 aaba故 ，（当且仅当 ）时取等.33maxCc20.（12 分）解：（1） 中令 得1)(22xf 2)1()(2ff故 ，于是 ，bc2 ba法一： 对 恒成立，有：1)(2xfR对 恒成立01)(2)(22 baxaf Rx则必有 ，而 ，于
14、是只有 ，进而上面的不等式组变为：10*N对 恒成立，显然有且只有 才行，此时0)2(2bxbRx0b1ac故存在 满足题意；,c法二： 由题知 对 恒成立，有02)()(22baxbaxf Rx，整理得48404)( b，2)()( 22 ba又 对 恒成立，故必有1)xf 012baxaRx1a8而 ，于是 ，而 故 ，此时 ，*Na1a2b012bac，显然满足 对 恒成立，故存在 满足题意；)(2xf 1)(xfR0,（2）当 时，方程 ，令 ，其两)(2cx cxxg)2()(2个零点为 ，则21,x),1(),0(21x0210)(cbg而 44)(4)()( 2222 cbbcb
15、 2)()2(cb令 ，在约束条件 下，由线性规划知识易求得ct021c )1,5(t故 ，)3,)(2)( tb也即： .1)(412bcc21.（12 分）解：（1）由 )(6511nnSS 1116)(5nnnbS165nb，且其首项 ，2),3(23bbn 02312b故 等比，公比为 ；1（2）先求 ，由（1）知n nn11 2121n等比，其首项为 ，公比为 ,2231nnn bb 3于是 ；（或用特征根法求得）nnn3)(由题可得 ，51,21ba由于 ，)2(,)11(121 nbbannn9故 )1(11)()1()1() 14322 nnn aaaa )(2)(5)(52 212122143 nnnn bbbbbb 因此所证 ，21en而 时， ，3n 1132)(1)23( nnnnnb保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有：，125)31(2533151 2122 nnnbb 而 ，over 了.5.067e
