解析几何中的定值定点问题(一)一、定点问题【例1】已知椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程;设,、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;在的条件下,证明直线与轴相交于定点解:由题意知,所以,即,又因为,所以,故椭圆的方程为:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为 联立消去得:,由得,又不合题意,所以直线的斜率的取值范围是或设点,则,直线的方程为,令,得,将代入整理,得 由得代入整理,得,所以直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程;当时,求与的关系,并证明直线过定点解:点到,的距离之和是,的轨迹是长轴为,焦点在轴上焦中为的椭圆,其方程为 将,代入曲线的方程,整理得 ,因为直线与曲线交于不同的两点和,所以 设,则, 且,显然,曲线与轴的负
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