1、 泰兴市第一高级中学 2014 年秋学期阶段练习三高 三 数 学一、公式默写：（每空 2 分，共 12 分）1 (log)ax2 ()f3 cos_4余弦定理： s_A5设 ， ，则 _a1(,)xyb2(,)xy/ab6等比数列 首项为 ，公比为 ，则其前 n 项的和公式为: n1qnS二、填空:(每题 5 分，共 70 分)1.设集合 ，则实数 a= .2,3,4,3ABaAB2.已知 a与 b均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 |b等于 3.已知 ， ，则 = sin()45xsin()45xtanx4.设 若函数 在区间(1，3)内有零点，则实数 a的取值范围为 .23faf5.
2、若实数 满足 ，则 的最小值是_.,b2ab6.已知等比数列 中 则 n,354,16,77.抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 （包含三角形内部与边2xy D界）.若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是 .),(PDyx28.在三角形 ABC 中，已知 AB=3，A= , 的面积为 ，则 = _ .012ABC1534BCAur9.函数 的所有零点之和为 ()2sin(),4fxx10.已知函数 ，则关于 x 的不等式 的解集是 .2,0f2()3)fxfx11.若函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上是单调增函数.如果实数 满足()fxR0t时，那么 的取值范围是 .1
3、(ln)l)2(ftfftt12. 如图 是半径为 3 的圆 的直径 是圆 上异于 的一点，,ABO,P,AB是线段 上靠近 的三等分点 且 则 的值QP,4,AQP为 .13. C中，角 、 所对的边分别为 cba、 ，下列命题正确的是_（写出正确命题的编号）.总存在某内角 ，使 21cos；若 ABinsi，则 ；存在某钝角 C，有 0tanttaCB；若 02cba，则 的最小角小于 6；若 10t，则 tA.14. 已知函数 存在整数零点的 恰有 3 个，则 的取值320()()fxaMa0M范围是 .三、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15
4、.（本题 12 分） 已知函数 的图象过点( ，2)()2sin()02)fx 2（1）求 的值；（2）若 ，求 的值6(),5fsin()616. （本题 12 分） 在 中，已知 ，向量 ， ，且 ABC6(sin,1)Am(,cos)Bmn（1）求 的值；（2）若点 在边 上，且 ， ，求 的面积D3BDC3AC17. （本题 12 分） 已知 是等差数列，其前 项的和为 ， 是等比数列，且nannSnb.1442,1,30abSb（1）求数列 和 的通项公式；n（2）记 ，求数列 的前 n 项和cac18. （本题 14 分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在 y 轴左侧
5、的观光道曲线段是函数， 时的图象且最高点 B（-1，4） ，sin()0,)yAx4,0x在 y 轴右侧的曲线段是以 CO 为直径的半圆弧试确定 A， 和 的值；现要在右侧的半圆中修建一条步行道 CDO（单位：米） ，在点 C 与半圆弧上的一点 D 之间设计为直线段（造价为 2 万元/米） ，从 D 到点 O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为 1万元/米） 设 (弧度)，试用 来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的DCO最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度） yOC4-1DB-4 x19. （本题 14 分）已知各项均为正数的数列 na前 项的和为 nS，数列 2na的前
6、项的和为 nT，且2*34,nnSTN证明数列 是等比数列，并写出通项公式；若 20n对 *恒成立，求 的最小值；若 12,xyna成等差数列，求正整数 ,xy的值20. （本题 14 分）已知函数 ，且 (),xabfxeR0a（1）若 ，求函数 的极值；2,1()f（2）设 ()xgxae 当 时，对任意 ，都有 成立，求 的最大值；(0,)()1gxb 设 为 的导函数，若存在 ，使 成立，求 的取值()x()0gxba范围高三数学阶段练习三参考答案1 1 2 3 4(0， 5 4 6 65 77947 8 98 10(，3)(1，3) 11 , 1(,)e1224 13 14 )163
7、,9215解：（1）因为函数 f(x)2sin(2 x )(0 2)的图象过点( ，2)， 2所以 f( )2sin( )2， 2即 sin 1 3 分因为 0 2，所以 5 2分（2）由（1）得， f(x)2cos2 x 6分因为 f( ) ，所以 cos 2 65 35又因为 0，所以 sin 8 分 2 45所以 sin2 2sin cos ，cos2 2cos 2 1 10 分2425 725从而 sin(2 )sin2 cos cos2 sin 12 分 6 6 616解：（1）由题意知 ， 1 分sinco0ABm又 ， ，所以 ， 3 分6CAB5s()6A即 ，即 ， 5 分3
8、1sincosi2i又 ，所以 ，所以 ，即 6 分5062()()63,066（2）设 ，由 ，得 ，BDx3BCx由（1）知 ，所以 ， ，AA在 中，由余弦定理，得 ， 8 分222(13)=3cosxx解得 ，所以 ， 10 分xB所以 12 分11293sin3sin24ABCSB17解：（1）设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q由 a1 b12，得 a423 d， b42 q3， S486 d 2 分由条件 a4 b421， S4 b430，得方程组 解得 2 3d 2q3 21，8 6d 2q3 30， ) d 1，q 2 )所以 an n1， bn2 n，
9、nN* 6 分（2）由题意知， cn( n1)2 n记 Tn c1 c2 c3 cn则 Tn c1 c2 c3 cn2232 242 3 n2n1 ( n1)2 n，2 Tn 22 232 3( n1)2 n1 n2n ( n1)2 n1 ，所以 Tn22(2 22 32 n )( n1)2 n1 ， 10分即 Tn n2n1 ， nN* 12 分18解：因为最高点 B（-1，4） ，所以 A=4；，()324T因为 3 分216T代入点 B（-1，4） ，sin()sin()16又 ； 6 分203由可知：，得点 C 即 ，4sin(),4,06yx(,23)23O取 CO 中点 F，连结
10、DF，因为弧 CD 为半圆弧，所以 ，,90DFC即 ，则圆弧段 造价预算为 万元，A23DOA23中， ，则直线段 CD 造价预算为 万元 RtCcos4cos所以步行道造价预算 ， 10 分()432g(0,)2由 得当 时， ，()43sin2(1sin)gx6()0g-1B E 2 y C 4 D xF当 时， ，即 在 上单调递增；(0,)6()0gx()g0,6当 时， ，即 在 上单调递减2)2所以 在 时取极大值，也即造价预算最大值为（ ）万元14 分()g6 3619解：（1）因为 2()34nnST，其中 nS是数列 na的前 项和， nT是数列2na的前 项和，且 0a，
11、当 时，由 211()34，解得 1a，1 分当 2n时，由 22()a，解得 2； 2 分由 )(nTS，知 411nnTS，两式相减得03)4211n，即 03)(1nnaS，亦即 2n，从而 1,2)nS ，再次相减得1,()na，4 分又 12，所以 1,()2na所以数列 n是首项为 1，公比为 的等比数列， 5 分其通项公式为 2na *N 6 分（2）由（1）可得 nnnS211，143nnT， 8 分若 02nTS对 *N恒成立，只需 126312nnn对 *N恒成立，因为 263n对 *N恒成立，所以 3 ,即 的最小值为 3；10 分（3）若 21,nyxna成等差数列，其
12、中 yx,为正整数，则 112,nyxn成等差数列，整理得 2yx，12 分当 y时，等式右边为大于 2 的奇数，等式左边是偶数或 1，等式不能成立，所以满足条件的 yx,值为 ,1y14 分20解：（1）当 a2， b1 时， f (x)(2 )ex，定义域为(，0)(0，)1x所以 f ( x) ex 2 分(x 1)(2x 1)x2令 f ( x)0，得 x11， x2 ，列表12x (，1)1 (1，0)(0， )12 12( ，12)f ( x) 0 0f (x) 极大值 极小值 由表知 f (x)的极大值是 f (1)e 1 ， f (x)的极小值是 f ( )124 4 分e（2
13、） 因为 g (x)( ax a)ex f (x)( ax 2 a)ex，bx当 a1 时， g (x)( x 2)e xbx因为 g (x)1 在 x（0，）上恒成立，所以 b x22 x 在 x（0，）上恒成立 7 分xex记 h(x) x22 x （ x0） ，则 h( x) xex (x 1)(2ex 1)ex当 0 x1 时， h( x)0， h(x)在（0，1）上是减函数；当 x1 时， h( x)0， h(x)在（1，）上是增函数所以 h(x)min h(1)1e 1 所以 b 的最大值为1e 1 9 分解法二：因为 g (x)( ax a)ex f (x)( ax 2 a)ex
14、，bx当 a1 时， g (x)( x 2)e xbx因为 g (x)1 在 x（0，）上恒成立，所以 g(2) e20，因此 b0 6 分b2g( x)(1 )ex( x 2)e x bx2 bx (x 1)(x2 b)exx2因为 b0，所以：当 0 x1 时， g( x)0， g(x)在（0，1）上是减函数；当 x1 时， g( x)0， g(x)在（1，）上是增函数所以 g(x)min g(1)(1 b)e1 9 分因为 g (x)1 在 x（0，）上恒成立，所以(1 b)e1 1，解得 b1e 1因此 b 的最大值为1e 1 10 分解法一：因为 g (x)( ax 2 a)ex，所
15、以 g ( x)( ax a)exbx bx2 bx由 g (x) g ( x)0，得( ax 2 a)ex( ax a)ex0，bx bx2 bx整理得 2ax33 ax22 bx b0存在 x1，使 g (x) g ( x)0 成立，等价于存在 x1，2 ax33 ax22 bx b0 成立 12 分因为 a0，所以 ba 2x3 3x22x 1设 u(x) （ x1） ，则 u( x) 2x3 3x22x 1因为 x1， u( x)0 恒成立，所以 u(x)在（1，）是增函数，所以 u(x) u(1)1，所以 1，即 的取值范围为（1，） 14 分ba ba解法二：因为 g (x)( a
16、x 2 a)ex，所以 g ( x)( ax a)exbx bx2 bx由 g (x) g ( x)0，得( ax 2 a)ex( ax a)ex0，bx bx2 bx整理得 2ax33 ax22 bx b0存在 x1，使 g (x) g ( x)0 成立，等价于存在 x1，2 ax33 ax22 bx b0 成立 11 分设 u(x)2 ax33 ax22 bx b(x1)u( x)6 ax26 ax2 b6 ax(x1)2 b-2 b 当 b0 时， u( x) 0此时 u(x)在1，)上单调递增，因此 u(x) u(1) a b因为存在 x1，2 ax33 ax22 bx b0 成立所以只要 a b0 即可，此时1 0 12 分ba当 b0 时，令 x0 1，得 u(x0) b0，32又 u(1) a b0 于是 u(x)0，在(1， x0)上必有零点即存在 x1，2 ax33 ax22 bx b0 成立，此时 0 ba综上有 的取值范围为（1，） 14 分ba
