1、1几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。1、算术-几何平均值（ AM-GM）不等式设 是非负实数，则12,na 1212.nnaa 2、柯西（Cauchy）不等式设 ，则 等号成立当且仅当存在 ，使,(,)ibRi 22111.nnniiibR,12,.iian变形（）：设 ，则 ；等号成立当且仅当存在 ，Rbaii, niiniiba1212 R使 ,12,.iibn变形（）设 同号，且 ，则 。等号成立当且仅当iba,0,ibaniiini ba121nb213排序不等式设 是 的一个排列，则nnn jjbbaa , 212121
2、 ,. 等号成立当且仅当njjjn babab n 21321或 。 （用调整法证明）.21 n214琴生（Jensen）不等式若 是区间 上的凸函数，则对任意的点 有xfba, baxn,21 *()N等号当且仅当 时取得。1212() .nfxff nxx21（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。1. 幂均值不等式设 ， ，则0),21(niRai 2。 MnaanaMnn 12121 证：作变量代换，令 ，则 ，则iix1ii ， ，又函数 nxxnn2121 01是 上的凸函数，由 Jensen
3、不等式知式成立。)()pxf,02.（切比雪夫不等式）设两个实数组 ，则nnbbaa 2121,niinn baaba 2111121等号成立当且仅当 或 。na21 nb21证：由排序不等式有：，nnnn baabba 2121121，ba 3 nnnnn baabba 21121121以上 n 个等式相加即得。3. 一个基础关系式，其中yxy)(1 ,0,x证：若 x,y 中有一个为 0，则显然成立。设 x,y 均不为零，则原不等式 ，令 ，则上式 ，1yxtyx)1(t记 ，则 ，因此，当 时， ，当 时，ttf)1()( )(ttf t0)(tft，且 ，所以 得极小值为 ,故 ，即0
4、0f 0)1(f1.yxy)(14. Holder 不等式设 且 ，则1,),21(0, qpnkbak 3qnkpnknk bab111 等号成立当且仅当存在 使得 。Rt),21(nktbaqpk证: 在上面基础关系式中，取 有 ,qkpkByAxqkpkkBA1 式两边对 k 求和，得： ,令 ,nkqnkpnkB111 qnkkpnkkba11,代入上式即证。5. 一个有用的结论 设 ，则 ，推广得Rbai, nininii baba111)(设 ，则 .),2,(jij njnijnijiaa111)()(证：原不等式 ,)(12nnji iija而 )()( 1212ni inij
5、ni inij aa nji inijnji inij 1212 )()( ,它可把含根式的积性不等式化为和式。)( 112 naaniij iniij三、如何运用几个重要不等式例 1 设 且 ，求证： 。Rcb,c 3322cbacba证：由柯西不等式有 233 )()(ba而 1)(3 22222 cca c3(abc，即 bc由有： ,)(33ba)(22cba3322cc方法二：由幂均值不等式有：423233 )(cbacba )(2cba21)3(cba。2213222)( c方法三：由切比雪夫不等式和 AM-GM 不等式有：不妨设 ，则cba3)(2233 cbaacba 2232
6、2)(cb例 2 设 ，求证：1),2,1(0nii xx 11nxxniinii证：左边= niinini niixx112112121212 )()()()(niiiniii x。11)(1)()( 222 nxnxnn niii评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。例 3 设 ，求证：,abcdRca2)(ba证：设 ，则原不等式,(, Rwzyxwzyx，由 Cauchy 不等式有：212)(2)1( zyxzyxzyx，故原不等式成立。21212)1(12 xyxyzyxzy评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。5例 4 设 n 是正整数，且 ， ，
7、求证：nka,21,01ka nnkka)2()12(1证：原不等式 ，由“ 二，结论 5” 有)(1nknknknknnk aa1111 )2()2( 个，又 ，nnnnnnn a 21212)()( nnni a211，故 。aanin121 nkka)()()(1 评注：本例第一步放缩也可用 Holder 不等式的推广。例 5 设 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数 存在一个实数 ，使得,.21 iccai0且 对所有正整数 成立，证明：jiaji)(,ji.1c证： 对于 ，设 为 的一个排列且满足：2n(),2.,()n,.21.(1)(2)()0.naac ()(1)()(1)n
8、c(1)(2)nna(2)(1).a （柯西不等式）()()(2)n.() 21()()ni n.故2(1)(cnn21)3341n.c评注：这里把 有序化后，的变形是关键。ia例 6 设 a, b, c 为正实数，求证 + + a + b + c + ，并确定等号成立的条件a 2b b 2c c 2a 4a b 2a + b + c证：由于 + + a b c = + b2 a + + c2b + + a2ca 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a= a b 2 + bc 2 + ca 2 而由 Cauchy 不等式有1b 1c 1a6 ab 2 + bc 2 + c a
9、2 b + c + a |ab| + |bc| + |ca| 2 1b 1c 1a且由 |ab| + |bc| + |ca| |ab| + |bc + ca| = 2|ab| 知|ab| + |bc| + |ca| 2 4ab 2 结合 可得+ + a b c |ab| + |bc| + |ca| 2 a 2b b 2c c 2a 1a + b + c 4a b 2a + b + c由便知题目中的不等式成立若题中不等式取等号，即取等号故不等式 与皆取等号由式取等号知，存在 k 0，使得 ab 2 = bk, bc 2 = ck, ca 2 = ak，1b 1c 1a即ab 2 = b 2 k,
10、 bc 2 = c 2 k, ca 2 = a 2 k 由式取等号知 bc 与 ca 同号，从而三个数 bc, ca, ba 同号，结合知存在实数 l，使得 ba = bl, bc = cl, ca = al 由知 l = 1 = 1 = 1 ab bc ca由可得 = ，记 = = x，则 c = ax, b = ax 2，再由 式中 1 = 1 得bc ca bc ca ab bc1 = x1 即 x 32x 2 + 1 = 0故x1 x 2x1 = 01x 2结合 x 0 可解得 x = 1 或 x = 1 + 故 a : b : c = 1 : x 2 : x = 1 : 1 : 11
11、2 5或 1: 3 + : 1 + 12 5 12 5又当 a, b, c 满足条件时，容易难题目中不等式确实取等号故 即为题中不等式取等号的充要条件评注： 式的变形非常漂亮，是解题的关键所在。 例 7 在 中，求证：ABCBA22cos4cos证：在 中，令 ， ， ，则原不等式ab2b22cba， 由 AM-GM 不等式有：)()(4)(22 ，即证。)()()(2 )(2评注：在 中令 则有以下结论：ABC,zyaxbyc，外接圆半径 ，内切圆半径 ，)(zxySxR4)(xyzr7， 。)(2sinzxyA)(coszxyA例 8 设正数 a、b 、c、x、y 、z 满足 求函数.;
12、caybxcabc的最小值.zyxf 11),(22解：由已知条件三式解出 abczybacx22令 ， ， 。从而可知22acb2c2， ， （易知 ）)(x )(y )(z R、=)(1)(22x )()(2从而 ),(zyf )()(2)()(2（柯西不等式） 。 下证 .1,zyxf只需证 )()(221)(3422 （*）)(利用均值不等式知： ，从而（*）式成立，22故知 而当 ，即 时， .21),(zyxf 21zyxcba1324),(zyxf从而 的最小值是 .),(f评注：这是 2005 年的联赛试题，巧妙地代数换元后，避免了三角变形的麻烦。8例 9 设 a1, a2,
13、, an为大于等于 1 的实数，n 1，A = 1 + a1 + a2 + + an定义 x0 = 1, xk = 1 k n证明：x 1 + x2 + + xn 11 + akxk 1 n 2 An 2 + A 2证：设 yk = ，则 = yk = 1 + 由 yk1 1, ak 1 可得1xk 1yk akyk 1 1a k1 0 * 1 + ak + 所以 yk = 1 + ak + 1yk 1 akyk 1 1yk 1 akyk 1 1yk 1故 yk ak + = ak + + = A + 0，有nk = 11yknk = 1 n 2t0 t = n 2t= n 2 An 2 +
14、A 2评注：本题巧妙地运用函数方法，* 式值得注意，是一种常见的放缩手段例 10 设 ai 0 i = 1, 2, , n， ai = 1，k N + 求证 a1k + a2k + ank + ni = 1 1a1k 1a2k 1ankn k + n1n k证：首先证明函数 f x = ln x k + 在区间0, 1上是下凸函数事实上，由于1x kf x = kx k1 kx k1 = k , x 2k 1x 2k + 1 + xf x = k 2kx 2k1 x 2k + 1 + xx 2k1 2k + 1x 2k + 1 1x 2k + 1 + x 2= 2kx 4k + 2kx 2k
15、2k + 1x 4k2kx 2k1 kx 2k + 1 + x 2= x 4k + 4kx 2k + 1 kx 2k + 1 + 2 2当 0 2k 2 + 4k 2 + 1 0故由 知 f x 0 x 0, 1故 f x在0, 1上为下凸函数。由于 ai 0, a1 + a2 + + an = 1 i = 1, 2, , n，故 ai 0, 1从而由 Jensen 不等式有 f a1 + f a2 + + f an f a1 + a2 + + an = f ，1n 1n 1n9即 f a1 + f a2 + + f an n f 1n故 ln a1k + + ln a2k + + + ln ank + n ln k + 1a1k 1a2k 1ank 1n即 ln a1k + a2k + ank + ln + n k n1a1k 1a2k 1ank 1n k从而 a1k + a2k + ank + + n k n证毕1a1k 1a2k 1ank 1n k另证：由 Hlder 不等式得 aik + ai + nni = 1 1aikni = 1又 ai n = n 1，且 f x = x + 在0, 1上单减 ai + n ni = 1 1n 1xni = 1 1n+ n = + n k n，得证1n k
