1、 朝阳县柳城高中 2014-2015 学年度高三第二次模拟考试数学试题(文科)时间：120 分钟 总分：150 分第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|x2+x2，B=-1，0，1，2 ，则( RA)B 等于A-1，0，1 B1，2 C -1，0 D 22若复数 z 满足(1+i)z=3i-1(i 为虚数单位)，则在复平面内，z 对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.根据某校高三一班一次数学考试成绩整理得到如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图估计该班的学生数学成绩的众数、中位数分
2、别为A.115 113 B.115 113.3C.113.3 113.3 D.115 1144若 x(1， e)，a=ln x，b=(ln x)2，c=ln(ln x)，则a，b，c 的大小关系为Ac ba Bb ca Cabc Dbac5一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A5 B6 C 2 D776根据如图所示的程序框图(其中表示不大于 x 的最大整数 )，输出 r 等于A. B2 C. 73 52D47已知几个命题：若点 P 不在平面 内，A 、B、C 三点都在平面 内，则 P、A、B、C 四点不在同一平面内；两两相交的三条直线在同一平面内；两组对边分别相等的四边
3、形是平行四边形其中正确命题的个数是A0 B1 C2 D38已知双曲线 =1(a0，b0)的两条渐近线均与圆yxC：x 2+y2-6y+5=0 相切，且双曲线的焦距为 6，则该双曲线的方程为A. =1 B. =1 C. =1 D. =154452yx32yx362yx9如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D，测得 BDC=45，则塔 AB 的高为A10 米 B10 米 C20 米 D30 米6310甲、乙两位同学各拿出 6 张游戏牌，用作掷骰子(它的六个面分别标有点
4、数1，2，3，4，5，6)游戏的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有的 12 张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积 2 分，乙积 1 分，这时因为意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配合理的是A甲得 9 张，乙得 3 张 B甲得 6 张，乙得 6 张C甲得 8 张，乙得 4 张 D甲得 10 张，乙得 2 张11已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F，A 点的坐标为(8 ，8)，则线段 AB 的中点到准线的距离是A. B. C. D.1747547
5、412已知函数 f(x)=(x+1)2，若存在实数 a，使得 f(x+a)2x-4 对任意的 x恒成立，则实数 t 的最大值为A10 B8 C6 D4第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a=(2 ，0) ，| b|=1，则|a+2b|=_.14已知变量 x，y R 且满足约束条件 则 x+2y 的最大值为_102xy15将函数 y= sin 2x-2sin2x 的图象沿 x 轴向右平移 a(a0)个单位长
6、度，所得函3数的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是_ 16设 0m ，若 + k 恒成立，则 k 的最大值为_161m三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知数列 an的首项 a1=1，且满足 an+1= (nN*)21(1)求证：数列 为等差数列，并求数列a n的通项公式；(2)记 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn.2a18(本小题满分 12 分)PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物PM2.5日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/ 立方米75 微克/立方米之间空气质量为
7、二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标某地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示(1)计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标；(2)小王在此期间有两天经过此地，这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率19(本小题满分 12 分)如图，已知点 E、F 、G 分别为正方形 ABCD 中边 AB、BC 、CD 的中点，H 为CG 中点，现沿 AF、AG 、 GF 折叠，使 B、C 、D 三点重合，重合后的点记为 B，在三棱锥 B-AFG 中(1)证明：EH平面 AFG；(2)证明：A
8、B平面 BFG；(3)若正方形的边长为 2，求四棱锥 F-AGHE 的体积20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= ， mR. 1lnx(1)求 f(x)的极值；(2)当 m=0 时，若不等式 f(x) 对 x1k21(本小题满分 12 分)已知点 E(m，0)为抛物线 y2=4x 内的一个定点，过 E作斜率分别为 k1、k 2的两条直线交抛物线于点A、B 、C 、D，且 M、N 分别是 AB、CD 的中点(1)若 m=1，k 1k2=-1，求三角形 EMN 面积的最小值；(2)若 k1 + k2=1，求证：直线 MN 过定点请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，
9、则按所做的第一 题记分作答 时请写清题 号22(本小题满分 10 分) 选修 4-1：几何证明选讲如图，已知圆 O 外有一点 P，过点 P 作圆 O 的切线 PM，M 为切点，过 PM 的中点 N，作割线 NAB，交圆于 A、B 两点，连接 PA 并延长，交圆 O 于点 C，连 PB 交圆O 于点 D，若 MC=BC.(1)求证： APMABP；(2)求证：四边形 PMCD 是平行四边形23(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重合直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 =4cos +2s
10、in .21xcosytin(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并指明 C 是什么曲线；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，求证|PQ|为定值24(本小题满分 10 分) 选修 4-5：不等式选讲已知关于 x 的不等式 |x-1|+|x-5|log2a(其中 a0)(1)当 a=64 时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围文数学答案1.【解析】由 A=x|x2+x2=x |x-2 或 x1，得 RA=x|-2x1，又 B=-1，0，1，2，( RA)B=x|-2x1-1，0，1，2=-1，0，1【答案】A2.【解析】z= = = =1+2i.3iii42
11、i【答案】A3.【解析】由频率分布直方图知众数为 =115,中位数在 110120之间,设为 x,则0.005010+0.015010+0.020010+(x-110)0.030=0.5,解得 x=113.3.【答案】B4.【解析】x(1，e)，a=ln x， a(0，1)；b=(ln x )2bc.【答案】C5.【解析】该几何体是一个三棱锥，且从同一点出发的三条棱两两垂直，其长度分别为1， ， ，故该几何体的外接球的直径为 = ，该球的表面积为 S=4R2=7. 3 137【答案】D6.【解析】a= ，b= ，n=1 ，n(b-a)= - ，355 - 1， 执行“ 否” ，n =1+1=2
12、，n( b-a)=2( - )，5 32( - ) 1，执行“ 是”，m= =3，r= =2.3121【答案】B7.【解析】根据平面的基本性质进行判断不正确，当 A、B、C 三点共线时，P、A、B、C四点共面不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面 不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形，故选 A.【答案】A8.【解析】双曲线的焦距点为 6，c=3，圆的标准方程为 x2+(y-3)2=4，即圆心为(0 ，3)，半径r=2.双曲线的一条渐近线为 y= x，即
13、bx-ay=0.圆心到直线 bx-ay=0 的距离为 =r=2，即ba |32ab9a2=4(a2+b2)，即 9a2=4c2， a2=4，b 2=c2-a2=5.该双曲线的方程为 - =1.45【答案】A9.【解析】在BCD 中，CD=10，BDC=45 ，BCD=15+90=105 ，DBC=30 ，由正弦定理得 = ，则 BC= =10 .在 RtABC 中，tan 60= ，所以 AB=BCtan 45?BCsin30Di 45?30Csin2ABC60=10 .6【答案】B10.【解析】为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，
14、( 甲，乙) ，(乙，甲)，( 乙，乙)其中甲获胜 3 种，而乙只有 1 种，所以甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率是 .因此合理分法：甲得 9 张，乙得 3 张3414【答案】A11.【解析】由 y2=8x，知 2p=8，p=4.设 B 点坐标为(x B，y B)，由 AB 直线过焦点 F 知 8yB=-16，则 yB=-2，xB= ，线段 AB 的中点到准线的距离为 +2= .1 17425【答案】C12.【解析】作出 f(x)=(x+1)2与 y=2x-4 的图象要满足 f (x+a)2x-4，则 f(x)=(x+1)2的图象必须向右平移(a0) 才可以满足向右平移得 f(x+a)的图象，当
15、 f(x+a)与 y=2x-4 相交的左交点横坐标 x 为 2 时，其右交点距 x=2最远就是 t 能取得的最大值由 (2+a+1)2=22-4，得 a=-3，再由( x-3+1)2=2x-4，得 x=2 或 x=4，所以 t 的最大值为 4.【答案】D13.【解析】因为|b|=1，|a|=2，a b=|a|b|cosa，b=21cos 60=1，所以|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4+4=12，则|a+2b|=2 .3【答案】2 314.【解析】画出约束条件所表示的区域可知 x+2y 在点(3，4) 处取得最大值 11.【答案】1115.【解析】y= sin 2x-2sin2x=
16、sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+ )-1，令 2x+ = +k，kZ，得33?6?6x= + ，则该函数图象在 y 轴左边离 y 轴最近的对称轴为 x=- ，所以只需向右平移 个单位?62k 33【答案】 ?316.【解析】 = ，设 -m=n，得 + = + ，m+n= ，可得 2(m+n)612m31213621312=1， + =( + )2(m+n)=2( + + )又 0m ，得 m、n 都是正数，3n03 + 2 =2，因此， + =2( + + )2( +2)= ，当且仅当 m= ，n=m3?13n13218时， + 的最小值为 ，不等式 + k 恒成立， k 恒
17、成立，可得 k 的最81622612大值为 .3【答案】17.【解析】【答案】(1)证明： a1=1，且 an+1= (nN*)，a n0(nN*)，21对 an+1= (nN*)两边取倒数，得 = +2(nN*)，2 - =2(nN*)，1数列 为首项为 =1，公差为 2 的等差数列，a1a =1+2(n-1)=2n-1，a n= .6 分1(2)解：由(1)可知 bn= =(2n-1)2n，T n=12+322+523+(2n-1)2n，22Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1，两式作差，得-Tn=2+222+223+22 n-(2n-1)2n+1= -2-(2n-1)2n+
18、1=(3-2n)2n+1-6，4?1Tn=(2n-3)2n+1+6.12 分19.【解析】【答案】(1)证明：由题意可知点 E、H 在折叠前后都分别是 AB、CG 的中点(折叠后 B、C 两点重合) ，EHAG，EH平面 AFG，AG平面 AFG，EH平面 AFG.4 分(2)证明：由题意可知 ABBF 的关系在折叠前后都没有改变在折叠前 ADDG，由于折叠后 AD 与 AB 重合，点 D 与 B 重合，ABBG, ABBF，ABBG，BF 平面 BFG，BG 平面 BFG，BFBG=B，AB平面 BFG. 8 分(3)解：V F-AGHE=VF-AGB-VF-EHB=VA-BFG-VE-BF
19、H= SBFGAB- SBFHEB1313= 112- 1 1= .12 分1321321420.【解析】【答案】解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，+)，由导数运算法则知，f(x)= .2mlnx令 f(x)=0，得 x=em.当 x(0，e m)时，f (x)0，f (x)单调递增；当 x(em，+)时，f(x) 0，f(x)单调递减故当 x=em 时，f(x) 有极大值，且极大值为 f(em)=e-m.4 分(2)不等式 f(x) 对 x1kh(x)在 min=h(1)=10，从而 g(x)0，故 g(x)在 min=g(1)=2， k2. 12 分【结束】21.【 解析】【答案】解
20、：(1)当 m=1 时，E 为抛物线 y2=4x 的焦点，设 AB 方程为 y=k1(x-1)，A( x1，y 1)，B(x 2，y 2)由 得 k1y2-4y-4k1=0，y 1+y2= ，y 1y2=-4，AB 中点 M( ， )，244k12xyM( +1， )；同理，点 N(2k +1，-2k 1)kk1k2=-1，AB CD，SEMN= |EM|EN|= =2 212f(,)2+f(,)2+-k12+f(1,k)2=4，当且仅当 k = ，即 k1=1 时，EMN 的面积取最小值 4.6 分(2)设 AB 方程为 y=k1(x-m)，A(x 1，y 1)，B( x2，y 2)由 得
21、k1y2-4y-4k1m=0，y 1+y2= ，y 1y2=-4m，24yx 4kAB 中点 M( ， )，M ( +m， )；同理，点 N( +m， )，2kkMN= = =k1k2，yxlMN：y- =k1k2，即 y=k1k2(x-m)+2，直线 MN 恒过定点(m，2).12 分22.【解析】【答案】证明：(1) PM 是圆 O 的切线，NAB 是圆 O 的割线，N 是 PM 的中点，MN2=PN2=NANB, = .PNBA又PNA= BNP, PNABNP，APN=PBN, 即 APM=PBA，MC=BC, MAC=BAC，MAP=PAB，APM ABP.5 分(2)ACD=PBN
22、，ACD= PBN=APN，即PCD= CPM，PMCD，APM ABP， PMA=BPA.PM 是圆 O 的切线，PMA=MCP，PMA=BPA=MCP，即MCP= DPC，MCPD，四边形 PMCD 是平行四边形 . 10 分23.【解析】【答案】解：(1) =4cos +2sin ， 2=(4cos +2sin )=4cos +2sin ，由 2=x2+y2， cos =x， sin =y，得 x2+y2=4x+2y，曲线 C 的直角坐标方程为( x-2)2+(y-1)2=5，表示以(2 ，1)为圆心， 为半径的圆.5 分5(2)直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，?1cosin直线 l 过定点 (2，1)，也就是过圆( x-2)2+(y-1)2=5 的圆心，|PQ|=2 ，为定值. 10 分5
