著名的15个平面几何定理(共11页).docx

1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半证明：利用向量，简单明了设H,G,O,分别为ABC的、重心、外心.，D为BC边上的中点。OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD（1）=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）（2）=1/3向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.向量OG=1/3向量OH，O、G、H且OG=1/3OH。2、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。证明：如右图所示，ABC的BC边垂足为D