1、 考前自测数 学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页全卷共150分，考试时间为120分钟第卷（选择题 共 50 分）一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1、 i是虚数单位，若集合 1,0S，则A 3S B 6i C312iSD213iS2、高三某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为A13 B17 C19 D213、 8x展开式中 4x项的系数为A1
2、 B 1 C2 D 24、已知 3sinf，命题 :0,px， 0fx，则A p是假命题， :0,2pxf B p是假命题， 0:,02pxfxC 是真命题， ,0x D 是真命题， ,5、在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线。其中正确的是A B C D6、已知直线 :sincos1lxy，其中 为常数且 0,2，则错误的结论是A直线 的倾斜角为 ； B无论 为何值，直线 l总与一定圆相
3、切；C若直线 l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 1；D若 ,Pxy是直线 l上的任意一点，则 21xy；7、某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为A4 B3C2 D18、设 ab， 0，则 2ab的最小值是A 32 B 54 C 12 D 349、执行如图所示的程序框图，输入的 ,xyR， 开始输入 ,xy20,?zxy1z输出 z结束是 否正视图221 1侧视图俯视图输出的 z的范围为不等式 20axba的解集，则 b的值为A 1 B 1C 0 D210、一矩形的一边在 x轴上，另两个顶点在函数201xy的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体
4、积的最大值是A B 3C 4 D 2第二部分 （非选择题 共 100 分）二.填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 ）11、在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题，如果不放回地依次抽取 2 道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 .12、若等差数列 na满足 7890a， 710a，则当 n_ _时， na的前 项和最大；13、已知抛物线 2ypx与双曲线 2,0xyba有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF轴，则双曲线的离心率为 ；14、通讯卫星 C 在赤道上空 3R（ 为地球半径）的轨道上，它每 24 小时绕地球一周，所以
5、它定位于赤道上某一点的上空。如果此点与某地 A（北纬 60）在同一条子午线上，则在 A 观察此卫星的仰角的正切值为 ；15、设定义域为 12,x的函数 yfx的图像的为 C。图像的两个端点分别为 A、B，点 O 为坐标原点，点 M 是 C 上任意一点，向量 1,O， 2,Bxy， ,OMxy，且满足 12xx0，又设向量 NA。现定义函数 f在 12,上“可在标准 k下线性近似”是指 k恒成立，其中 0k， 为常数。给出下列结论：（1）A、B、N 三点共线 （2）直线 MN 的方向向量可以为 0,a（3）函数 25yx在 0,1上“可在标准 1 下线性近似”（4）若函数 在 上“可在标准 k下
6、线性近似” ，则 32k.其中所有正确结论的序号是 。BACyxO 12x三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.(本题满分 12 分)在 ABC中，记 x（角的单位是弧度制） ， ABC的面积为 S，且 8ABC，43S。（1）求 x的取值范围；（2）根据（1）中 的取值范围，求函数 223sincos34fxxx的最大值和最小值。17(本题满分 12 分)如图，已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC，90BACD， 60EAC，AB=AC=AE。（1）在直线 BC 上是否存在一点 P，使得 DP /平面 EAB？请证明你的结论；
7、（2）求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 的余弦值。18(本题满分 12 分)已知在数列 na中， 1，当 2n时，其前 n项和 nS满足 20nnaS。（1）求数列 的通项公式；（2）若 1nb，记数列 nSb的前项和为 nT，求证： 3n。ABCDE19(本题满分 12 分)如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设 是此人停留期间空气质量
8、优良的天数，求 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 。20(本题满分 13 分)设点 P 为圆 21:Cxy上的动点，过点 P 作 x轴的垂线，垂足为 Q，点 M 满足 2PQ。（1）求点 M 的轨迹 2的方程；（2）过直线 x上的点 T 作圆 1C的两条切线，设切点分别为 A、B ，若直线 AB 与（1）中的曲线2C交与 C、D 两点，求 AB的取值范围。21(本题满分 14 分)已知函数 32lnfxtxtRA（1）若曲线 y在 1处的切线与直线 yx平行，求实数 t的值；（2）证明：对任意的 2,0,x及 ,t都有 1212ln
9、ffx成立。150空气质量指数501002002501 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 11 日 12 日 13 日 14 日 日期8625571432201604021716012115886 7937yxOP MQ ACDBT1 5 9 2 6 10 3 7 4 8 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ， 超 出 红 色 矩 形 边 框 的 答 案 无 效 第二卷（非选择题 100 分）考生需用 0.5 毫米黑色签字笔书写二、填空题（共 25 分）11_ 2_ 12_8_13_ 1_ 14_ 36_15_(1)(2)(4)_3、
10、解答题16（12 分）解：（1）因为 BACx， 8A，所以， cos8bx，又 1sin2Sbcx，所以，4tanSx，又 3，所以， 1tan3，所以， 的取值范围是： 43；（2） 22sicos4fxxxsin216x因为， 43，即 56， 13i，所以， max4ff， min23fxf。17（12 分）解：（1）线段 BC 的中点就是满足条件的点 P。证明如下：取 AB 的中点 F，连接 DP、PF 、EF，则/FPAC， 2，取 AC 的中点 M，连接 EM、EC，因为，AE=AC，且 60E，所以， EAC是正三角形，所以， M，即四边形 EMCD 是矩形，所以， 12DAC
11、，所以， /DFP且 ，所以，四边形 是平行四边形。DP/EF，即，DP /平面 EAB。（2）以点 A 为坐标原点，直线 AB 为 x轴，直线 AC 为 y轴，建立空间直角坐标系 xyz,则 轴在平面 EC内，如图，设 2Ba，由已知，得2,0,3,02,3BaEaDa，所以， ，,D，设平面 EBD 的法向量为 1,nxyz，则 nEB且 D，所以，230axyz，得平面 EBD 的一个法向量 13,02。又因为平面 ABC 的一个法向量20,1n，所以 127cos,n18（12 分）解：（1）因为当 时， 1nnaS，所以， 21120nnnSS，所以， 112nnSS，所以， 12n
12、，所以，数列 n为等差数列，其首项为 1，公差为 ， n， 2n；当 时， 122naSn所以，12na。（2）因为， 1nnSbA，所以， 23142n nT，（1）112n（2）（1） （2）得， 234 1n nnT 所以， 3n19（12 分）解：设 iA表示事件“此人于 3 月 i日到达该市” （ 1,23,i ） ，根据题意， 13iPA，且i与 j互斥， ,12,j ， j。（1）设 B为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 58BA，所以，5858213PAPA（2）由题意可知， 的所有可能取值为 0,12，则36713143PAP121123PAA501P所以， 的分布列为
13、： 012P51343413故， 的期望 542013E。（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。20（13 分）解：（1）设 0,Pxy， ,Mxy，则由 2Q得到： 02代入 20y得到： 21xy所以，点 M 的轨迹 2C的方程为21x。（2）设点 ,Tt,则直线 AB 的方程为 ty，24tAB又设 12,CxyD，则 2xty，得 2840tyt于是， 12124,tyt，所以，2248ttCDA于是，228ttABCD令 4ts，则 32326621ABssCDs令 10,4ms，于是 ABmCD，设 3 2261,96f f，9604所以， fm在 ,单调递增
14、，故 1,2fm，所以， 2,1CDAB。21（14 分）解析：（1）因为 32lnfxtxtRA，所以， 3lft = 21x，所以 1.（2）当 12x时， ，结论显然成立；当 时，不妨设 12x，且记 1t，则 12lnfxf等价于1221lnlnxfx即 1221llnfxf变形为221112lxf f令： lngxf必须是增函数，即 0fx,1h必须是减函数，即 所以， 321xtt和 32xtt， ,x， tR同时恒成立。下面证明：当 时， 320xt在 ,1恒成立， 令 32xtx， 0,1， 26xt，设 06， ，则只需 0， 1203000422233xtxtxxtA再证明：当 1t时， t在 0,1恒成立，令 32xx，则只需 ， 20t。同理可证当 t时， 32t和 3xt在 ,1x恒成立；所以，不等式恒成立。
