1、 2015 年宁波市高三五校适应性考试数学（理科）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。注意：本卷考试时间 120 分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上。参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式S=4R2 V=Sh球的体积公式 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高V= 34R3 台体的体积公式其中 R 表示球的半径 V= 31h(S1+ 2 +S2)锥体的体积公式 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积，V= 31Sh h 表示台体的高其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高选择题部分(40 分)一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分
2、,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题“ :p0x， xln”，则 p为( )A. 0x， lnB. 0x， lnxC. ， D. ， 2.已知互不相等的正数 qdcba,满足 dbca,成等差数列， qbpa,成等比数列，则( )A. qdpc,B. pC. pD. dc3. 已知直线 ，平面 ,，且 ， ，则“ ”是“ /”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数 1211(),(),(),()()nnfxffxxf f 则函数 2015()fx是（ ）A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但
3、不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数5.已 知 不 存 在 整 数 使不等式 2(4)(0ax成立，则实数 a的取值范围为( )A. (0,)B. 0,C.1,D.,6.已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 (单 位 ： cm)， 如 图 所 示 ， 则 此 几 何 体的 外 接 球 的 体 积 为( ) A. 392cmB. 36 (侧6侧)221侧侧侧C. 364cmD. 39cm7.已 知 过 双 曲 线2:1(0,)xyab的 中 心 的 直 线 交 双 曲 线 于 点 ,AB， 在 双 曲 线 C 上 任 取 与 点,AB不 重 合 的 点 P， 记 直
4、 线 ,AB的 斜 率 分 别 为 12,k，若 12k恒成立，则离 心 率 e的取 值 范 围 为 ( )A.12eB.12eC. eD.e8. 设 ,xy满足约束条件043xy，则 31xy取值范围是（ ）A 1,5B 2,6C ,D 3,10非选择题部分(110 分)二、填空题（本大题共 7 小题，912 小题每题 6 分，其它小题每题 4 分，共 36 分）9. 已知直线 012:1yaxl，直线 03:2byxl，且 1l的倾斜角为 ，则 a= ；若 21l，则 b= ；若 /，则两直线间的距离为 10.太 阳 光 的 入 射 角 (光 线 与 地 面 所 成 的 角 )为 6， 要
5、 使 长 为 m的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为 ，其最大影长为 .11. 已 知 为第二象限角，且 1tan43， 则 tan()28 ， sin()12 .12.设 函 数 2|,0()xf， 则 ()f ，函数 yfx的零点个数为 .13.已 知 实 数 ,y满足 logllog4axxy，其中常数 1a，当 取最大值 2时，对应的x的值为 .14.已 知 抛 物 线 24x过 焦 点 F的 弦 AB，过弦 的中点作准线 l的垂线 ， 垂 足 为 M， 则MAB的 值 为 .15.已知函数 ()sin,2fx任意的 ,tR记函数 ()fx在区间 ,1t上的最大值为(),
6、t最小值为 mt，则函数 ()hMmt的值域为 .三、解答题(共 5 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16. (本小题满分 15 分)ABC中，内角 ,的对边分别为 cba,，且 1)cos(32sCBA(）求角 的大小；()若 81cos，且 ABC的面积为 ，求 a17. (本小题满分 15 分)如 图 ， 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ， 5AB，4,3，将 沿着 翻折到平面1处( 不与平面 重 合 )， ,EF分 别 为 对 边,AB的中点，()求证： EFD； ()若异面直线 1,BC所 成 的 角 为 30，求二面角1C的平面角的正切
7、值.18.(本小题满分 15 分)如 图 ， 已 知 椭 圆2:1(0)xyCab的 离 心 率 12e， 右 焦 点 为 F， 右 顶 点 为 A， P为直 线54xa上的任意一点，且 PFA.()求椭圆 C 的方程；()若过点 P 所作椭圆 C 的切线 l与坐标轴不平行，切点为 Q，且交 y轴于点 T，试确定 x轴上是否存在定点 M，使得 sin2|cos|OQM.若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.xy (侧18侧)TAFOQ P侧17侧FED CA BC119. (本小题满分 15 分)已 知 数 列 na满 足23312(1)4na， nN.()求数列 的通项公式；()
8、证明：对任意的 nN，都有 123 42naaaa .20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 2fxbc，其中常数 ,bcR.()若任意的 1,， ()0,(2)ffx，试求实数 c的取值范围；()若对任意的 2x，有 124f，试求实数 b的取值范围2015 年五校高三适应性考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C B A D A D C二、填空题：题号 9 10 11 12 13 14 15答案2,1ab；742，340()0f，5个,23m2 0 21,16. (）由 1)cos(2sCBA得， cos2A，2 分即 0)(1co(
9、，所以， cos或 2(舍去) 4 分因为 为三角形内角，所以 3.6 分()由(）知 21)cos(CBA，则 inscosCB；由 81，得 83si，9 分由 正 弦 定 理 ， 有 CcBbAainisin，即 sin2Bab， 3sin2Cac，12 分由三角形的面积公式，得 2283isi21AS，即 32，解得 4a.15 分17. 解法一：( ) 连结 1C ，并取 1的中点 M，连结 ,FB.因为 F分 别 为 1D的中点，所以， /FDC且 12；因为四 边 形 AB为 平 行 四 边 形 ， 所 以 ， A； 又 E分 别 为 AB的中点，所以， /FMEB，即四 边 形
10、 FBE为 平 行 四 边 形 ；3 分所 以 ， /F.因 为 5AB， 4,3DB，即 22ADB；所以， ， C， 1；所以， 平面 1.又因为 BM平面 ，所以 BDM， EF.6 分()取 C的 中 点 N， 过 作 线 段 A的 垂 线 交 的 延 长 线 于 点 H.由 (1)知 ， 异面直线 1,EF所 成 的 角 为 1C ， 故 130B；因 为 1B， 为 的 中 点 ， 所 以 ， 6，即 1C为正三角形.所以 CN.9 分由 () 知 ， 异面直线 1,EFBC所 成 的 角 为 1BM ， 故 130；因 为 1B， M为 的 中 点 ， 所 以 ， 6C，即 1C
11、B为正三角形.所以 CN.又 D平面 1，所以，平面 ABD平面 1；因为平面 AB平面 1C，所以 1N平面 ABCD， 1NAB；所以， 1HN为二面角 的平面角. 12 分在 1RtC中， 132B， 6sin25HAB，所以， 115tanNH，即二面角 1CABD的平面角的正切值为 53.15 分解法二：() 因 为 5， 4,B，即xy zEF CDA BC122ADB；所以， ， DBC， 1；所以， 平面 1.2 分以 B为原点，直线 ,分别为 x轴、 y轴建立如图所示的空间直角坐标系. 3 分则 (4,0)(,3)(4,0)CDA ，设 1(0,)CB ，则 1(4cos,0
12、in)C，所以，中点 32cos,2in)EF，所以， (cs,i)， (,D，所以， 0BD，即 E.6 分() 因为异面直线 1,FC所 成 的 角 为 30，所以， 11|cos6EFBC，即 8cos23(8cos)，解得 cos2， 3.即 (2,03).8 分设平面 1AB的一个法向量 (,mxyz，则10mC，即4023，取 4，则 ,xz，即 (3,4)m.11 分又平面 ABD的一个法向量 (0,1)n，12 分所以 32cos,|47mn， 53tan,m，因为二面角 1C为锐二面角，所以二面角 1CABD的平面角的正切值为53|tan,|. 15 分18. () 由 题
13、意 ， 知 右 顶 点 (,0)Aa， 设 5(,)4Pam，右 焦 点 (,0)Fc， 则 2ac，由 2PF，得 3c， 2 分解得 ,1ac，所以 2b4 分所以椭圆 C 的方程为2143xy.5 分( 注：取 P 为特殊点求值，只能得 4 分)()设切点 00(,)Qxy，切线方程为 00)ykx，与椭圆方程联立，得2 203484()1kkxk有相等实根，所以， 2 20 0()3()yyx ，解得， 04xk，又 2031y，所以，切线方程为 034120xy.8 分(注：用隐函数求导得切线方程同样得分)则 切 线 与 y轴的交点 03(,)Ty，且原点 O 到切线的距离 2091
14、6dxy，所 以 204|sin|916dOQx. 11 分若 x轴上存在定点 (,)Mm使 sin|cos|TQM，由2200033(,(,)4yxTmxyy得，0022|3|cos916()Qxxy，13 分所以， 000222|4()|916yyyxm对任意的 0|(,2)x恒成立，化简，得 m， .所 以 ， x轴上存在定点 (,0)M即椭圆 C 的两焦点使 sin2|cos|OTQM.15 分19. ()因为23312(1)4naa，当 n时， ， 即 1. 2 分当 2n时，233121()4naa， 作 差 ， 得223 3(1)()4nna，na， 4 分且 1也满足此式； 5
15、 分(不检验，此步不得分)所以， na的通项公式为 na. 6 分()由( )得 2nan，因为 12()2(1)210nnnn，所以， 02na， 8 分又1(2)0n nan，即 12nan.11 分所以， 123 1213122naaaa n ，记 12131nS ，由错位相减法，得 2122n，即 24nS.14 分所以 123naaaa .15 分20.()因为 x，则 1x，由已知，有对任意的 ， ()0f恒成立，任意的 13x， ()0f恒成立，故10f且 ()f，所以， ，即 1 为函数 ()yf的一个零点.2 分因此可设 ()1()fxc.所以，任意的 3， 0fx恒成立，则 1,3,c，5 分即 c的取值范围为 7 分()函数 2()fxbc对 12,，有 4|)(|21xff恒成立，即 main4，8 分记 maxin()()ffM，则 4.当 |12b即 |时， |(1)|2|4fb，与 M矛盾；10 分当 |即 2b时, max(),1()ff2(1)|(1)|()4bfff，即 2b.13 分综上， c的取值范围为 2b. 14 分
