1、 镇海中学 2015 年高考模拟试卷数学（理科）参考答案一选择题（本大题有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1A； 2B； 3C； 4B；5A； 6D； 7D； 8 C二、填空题（本大题共 7 小题，第 9-12 题每空 3 分，第 13-15 题每空 4 分，共 36 分）9.,20,， 01a 10. 22()()10xy, 38 11.164312. 5， 7 13.4 14.2+ 5 15. 43,三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（） sin,siniabaBAA2,i.2isinbCCCsi cosi,BA22sin
2、co2nsi,1tantAA11tatC（7 分）（）由（）知， 1tant，即 tttan2CAAB为锐角三角形， ,aA均为正数，tant2t，当且仅当 1tnta4时等号成立。1an,ta62CC当且仅当 1tt4A时等号成立。 tantant 12t 112tanABCAC8t5，即 t的最大值为 85。 （15 分）A CBFGQ DERH17.（1）证明： E为弧 AC的中点， BC， A为直径， EBAD. 2226(5)FaaFE， .F ,BD B平面 .D 平面 ,D . （6 分）（2）解法一：如图，以 为原点，为 x轴正方向，过 B作平面 EC的垂线，建立空间直角坐标系
3、，由此得 (0,)， (,0)Ca， (,20)a， (,).E FDB .FBD C当 R时， 最短.此时 45Ra25Ba3. ,FQERFB 24(0,),5a3().5a 8.D设平面 的法向量为 1(,)nxyz则 10,nRD1Q 02.平面 BE的法向量为 2(,) 125cos,.n 125sin,.平面 BED与平面 RQ所成二面角的正弦值为 . （15 分）解法二：（确定二面角的平面角综合方法一）过 作 H . ,FERFB .E HD .B D平面 平面 Q， H为平面 与平面 的交线. ,BR平面 ,FEB平面 DF，xzy ,.HDBR 为平面 E与平面 QD所成二面
4、角的平面角. R是直角三角形，25sinaBR. （15 分）18.()解：（1）由题可知231acb，解得231b椭圆的方程是213xy5 分()解：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，ABO 的面积为 S如果 ABx 轴，由对称性不妨记 A 的坐标为( 32， )，此时 S 132 4；如果 AB 不垂直于 x 轴，设直线 AB 的方程为 ykxm，由 2,3ykmx 得 x23(kx m) 23，即 (13k 2)x26kmx3m 230，又 36k 2m24(1 3k 2) (3m23) 0，所以 x1x 2 k，x 1 x2 ，(x1x 2)2(x 1x 2)24 x 1
5、x22(3)k， 由 | AB | 221()k及 | AB | 得(x1x 2)2 23， 结合，得 m2(13k 2)2(3)41k又原点 O 到直线 AB 的距离为 2|1mk，所以 S 12|k，因此 S2 3421m 213k2()4 34 6( 2k2) 2 ，因为 2231,31故 S 3,42综上可知，ABO 的面积的取值范围是 3,42 15 分19.解 （） 1(,)Pt，直线（过 P 点的切线） AB 的方程为：()yxtt，令 0，得 2Bt；由 4yx与联立得 2.(1)4Atx所以 ,(1).Aftxt由题设，得 14,nna （5 分）（）法一： 由 111(34
6、)304nnnnn naa 1213344naa又 由 从 而 由 数 学 归 纳 法 可 得法二：则 1,nn由待定系数法易得： 114()3nna， ，所以 14()3na，得 *1,4()3nnNa依题意 10n恒 成 立 1443()()334nnaa恒 成 立（10 分）（） 法一: 11=+(n2)4nnnnnbbb由 得 代 入而 14304536n nnab11nnnb12144nnnbbb153=42S时 ， 1255()1 1336462+()364 0824nn n时 ，法二: *113,44455362nnnba N121212153335244445nnn nnb即
7、*215,nnN 21211(n2)54nnnb13=4S时 ， , 23468S时 ， 434 21251584533()()8 76n nn时 ，（15 分）20. 20. 解：（）22 57,()()5| 3xaxfxa当 03时，若 a，则 2()7f 在 0,2上为减函数，在 ,2上为增函数；不合题意；若 3a，则 2()53fxa 在 5,)2上为增函数，符合题意；若 50，则 在 0, 上为增函数，在 ,a 上为减函数，在 5,32 上为增函数，不合题意；若 32a 时， ()fx 在 ,a 上为增函数，在 ,3 上为增函数，所以 ()fx 在 0, 上为增函数,符合题意。综上，所求 的取值范围为 52。（）因为 12,x满足 1()0ax ，不妨设 12xa 令 ()ffk当 52a 时， 2()f ，当 52时， 854k当 0，且 ka1254125482kax08akka关于 为增函数所以 2100 5541542|2a当 2a时， 0|a 当 50 ， 125|2aa，所以 10x；当 50 ， 28()4kfa时，12225854125428ka kakax即 121544 ka
