1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 1 -KS5U2015 重庆高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合 ，则 A B C D2.已知 i为虚数单位，复数 对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( ) A. yx 31 B. ylog 2(|x|2) C. y() |x| D. y2 |x|4.将函数 的图象向左平移 个
2、单位，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的一个可能取值为A B C D5.已知向量 =（3cos，2）与向量 =（3，4sin）平行，则锐角 等于（ ）A B C. D 6.棱长为 2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 2 -A B C 4 D 37.执行如图所示的程序框图，输出的 k值为A.7 B.9 C.11 D.138.已知函数 的两个零点为 并且 则的取值范围是（ ）A B C D 9.如图，矩形 ABCD的四个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B( ,1)，C( ,1)，D
3、(0,1)，正弦曲线 和余弦曲线 在矩形 ABCD内交于点 F，向矩形 ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A B C D 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 3 -10.已知定义在 上的函数 满足： ；对所有 ， ，且 ，有 若对所有 ， ， ，则的最小值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分把答案填在答题卡的相应位置11.已知 ，则 12.已知数列a n，a n=2n，则 + + = 13.设 x，y，z0，满足 xyz+y2+z2=8，则 log4x+log2y+log2z的最大值是 考生
4、注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14.（几何证明选讲选做题）如图 2，圆 的直径 ，直线 与圆 相切于点 ， 于点 D，若 ，设，则 _ 15.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系若曲线经过曲线 的焦点，则实数 的值为_。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 4 -16.不等式 的解集是 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内17.(本小题满分 8分) 已知抛物线 C：y=-x 2+4x
5、-3 .（1）求抛物线 C在点 A（0，3）和点 B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线 C与它在点 A和点 B处的切线所围成的图形的面积.18. 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为 ，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“ 待定”票票数之和 X
6、 的分布列及数学期望19.（本小题满分 10分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，动点 满足，当 时， .（1）求棱 的长；（2）若二面角 的大小为 ，求 的值.20. 已知数列 的前 项的和为 , 且*121nNSS.nan（1 ）求 1S, 2及 ；高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 5 -（2 ）设 , 数列 的前 项和为 , 若对一切 均有nab)21(nbnTNn，求实数 的取值范围36,1(mTn21. 如图，曲线 1C是以原点 O为中心、 12,F为焦点的椭圆的一部分，曲线 2是以 为顶点、 为焦点的抛物线的一部分， A是曲线 1C和 2
7、的交点且21AF为钝角，若 17AF， 25（I）求曲线 1C和 2的方程；（）过 2作一条与 x轴不垂直的直线，分别与曲线 12,C依次交于 ,BCDE四点，若 G为CD的中点、 H为 BE的中点，问：2BEGFCDH是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由 22.（本小题满分 13分）已知无穷整数数集 （）具有性质 ：对任意互不相等的正整数 ， ， ，总有若 且 ，判断 是否属于 ，并说明理由；求证： ， ， ， ， ， 是等差数列；已知 ， 且 ，记 是满足 的数集 中的一个，且是满足 的所有数集 的子集，求证： ， 互质是 的充要条件高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网
8、2015 高考压轴卷 - 6 -KS5U2015 重庆高考压轴 卷数学理 word 版参考答案一DBCBA CCBBB11.11 12.113. 14. 15.4 16.17.(1) ， ，2yx1(0),(3)2ky所以过点 A（0，3）和 点 B(3，0)的切线方程分别是 和 ，43yx26yx两条切线的交点是 ，4 分(,)2(2)围成的区域如图所示：区域被直线 分成了两部分，分别计算再相加，得： 32x即所求区域的面积是 . 8分9418. （1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件 A，则事件 A 包含该节目可以获 2 张“获奖票”或该节目可以获 3 张“ 获奖票”，甲、乙、丙
9、三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为 ，且三人投票相互没有影响，某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：P（A）= = （2）所含“获奖” 和“ 待定”票数之和 X 的值为 0，1，2，3 ，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 7 -P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，X 的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）= =219.（1）以点 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，所以 ， ， ， 当 时，有解得 ，即棱 D 的长为 . 32m1C32
10、（2）设平面 的一个法向量为 ，则由 ，得 ，即 ，令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，6 分又平面 与 轴垂直，所以平面 的一个法向量为 ，因二面角 的平面角的大小为 ，所以 ，结合 ，解得 . 10分20. （1） ， ， ；2S6)1(nS（2 ）由（1 ）得 ， ，nab4)31,4(3nT高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 8 - ，解得31642m5m21. （）解法一：设椭圆方程为12byax，则 a625721AF，得 3a.设 )0,(,(),21cyx，则22)7()(ycx，25(c，两式相减得3x，由抛物线定义可知 252c
11、xAF，则 23,1x或2,1c（舍去）所以椭圆 1C方程为1892yx，抛物线 2C方程为 xy42.4 分解法二：过 F作垂 直于 轴的直线 cx，即抛物线的准线，作 AH垂直于该准线，作xAM轴于 ，则由抛物线的定义得 AF2，所以21212 H657221 F6522M，得 2121F，所以 c1，822cab( a625721AF， 得 3a）,因而椭圆 1C方程为 92yx，抛物线 2C方程为 xy424 分高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 9 -（）设 1234(,)(,)(,)(,)BxyECxyD把直线221212289160,96
12、6,.()48ykkykyxx代 入 得 则同 理 将 代 入 得 ：34342123412221342234113222240,;(=(6)()8941()kyykBEGFyCDHyyykk（ ）（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） .16为 定 值22.（）解：13A设 13A，则由1，21A，性质 P可得 1+|13-9|=5A，与 5A矛盾，13A；（）证明：对任意 k+2n，由性质 P可得 ，21kka ，12kka 且 ，A212kkka ，121kk ，2aa 1，a 2，a 3，a n是等差数列；（）解：由（）可知，a1，a2，a3，an 公差为 d，且 dZ设 ai=
13、0，aj=x，ak=y，ijk，则 y=（k-i）d，x=（j-i）d，首先证明：x，y 互质是 M=N的充分条件x，y 互质，d=1，高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网2015 高考压轴卷 - 10 -M 是满足0，x，yA 的所有数集 A的子集，M=N；其次证明 x，y 互质是 M=N的必要条件假设 x，y 不互质，则 x，y 有大于 1的因数 p，满足条件 A=a1，a2，a3，an，中的元素所构成的数列a1，a2，a3，an，的公差 d可以取 1，也可以取 p，此时 A=0，p，2p，（n-1）p，满足条件，且=0，p，2p，（n-1）p，N，与 M=N矛盾，x，y 互质，x，y 互质是 M=N的充要条件
