1、 福建省冷曦中学 2016 届开学第一考数学（文）试题考试时间：2015 年 8 月 9 日 8.00-10.30 试卷满分：150 分一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知复数 z 满足方程 z2+3=0，则 z （ 表示复数 z 的共扼复数）的值是（）A 3i B 3i C 3 D 32（5 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x1，集合 B=x|3x40，满足如图所示的阴影部分的集合是（）A x|x1 Bx|1x C x|x1 Dx|x 3（5 分）双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为
2、2，则该双曲线的离心率为（）A B C D4（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A 4 B 8 C 16 D 2165（5 分）已知 a=sin2，b=log 2，c=log ，则（）A abc B cab C acb D cba6（5 分）等比数列a n中， a2= ，a 6=4，记a n的前 n 项积为 Tn，则 T7=（）A 1 B 1 或一 1 C 2 D 2 或一 27（5 分） =（）A B C D 18（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A B C 1 D9（5 分）在ABC 中， ABC=30，AB= ，BC 边上的中线 AD=1
3、，则 AC 的长度为（）A 1 或 B C D 1 或10（5 分）已知函数 f（x） = ，则关于 x 的方程 f（x）=f（x 2）解的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题（本大题共 5J 题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置）11（5 分）命题“若|x|=1，则 x=1”的否命题为12（5 分）已知点 A（1， 2），B（a，4），向量 =（2，1），若 ，则实数 a 的值为13（5 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 z=x2y 的最大值与最小值之差为14（5 分）已知函数 f（x）对任意实数 x，y 满足 f（x+y ）=f （x）+f（y），且
4、 f（1）2若存在整数 m，使得 f（ 2）m 2m+4=0，则 m 取值的集合为15（5 分）已知 B，C 两点在圆 O：x 2+y2=1 上，A （a ，0）为 x 轴上一点，且 al给出以下命题： 的最小值为一 1；OBC 面积的最大值为 1；若 a= ，且直线 AB，AC 都与圆 O 相切，则ABC 为正三角形；若 a= ，且 = （0），则当 OBC 面积最大时，|AB|= ；若 a= ，且 = ，圆 O 上的点 D 满足 ，则直线 BC 的斜率是 其中正确的是（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共 6 个小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12
5、分）已知函数 f（x ）=sinx+cos（x+ ）（0）的最小正周期 T=4（I）求 ；（）当 x时，求函数：y=f（x） 的零点17（12 分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为 500mm，内径尺寸满足20（13 分）已知函数 f（x ）= （e 是自然对数的底数，其中常数 a，n 满足ab，且 a+b=1，函数 y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线斜率是 2 （）求 a，b 的值；（）求函数 f（x）的单调区间21（13 分）已知动直线 l： y=kx+k 恒过椭圆 E： =1（ab0）的一个顶点 A，顶点 B 与 A 关于坐标原点
6、 O 对称，该椭圆的一个焦点 F 满足FAB=30 （）求椭圆 E 的标准方程；（）如果点 C 满足 3 +2 = ，当 k= 时，记直线 l 与椭圆 E 的另一个公共点为 P，求BPC 平分线所在直线的方程参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知复数 z 满足方程 z2+3=0，则 z （ 表示复数 z 的共扼复数）的值是（）A 3i B 3i C 3 D 3考点： 复数的代数表示法及其几何意义 专题： 数系的扩充和复数分析： 直接计算即可解答： 解：z 2+3=0，z= i，z =3
7、i2=3，故选：D点评： 本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题2已知全集 U=R，集合 A=x|x1，集合 B=x|3x40，满足如图所示的阴影部分的集合是（）Ax|x1 B x|1x Cx|x1 D x|x D考点： Venn 图表达集合的关系及运算专题： 集合分析： 先确定阴影部分对应的集合为（UB）A，然后利用集合关系确定集合元素即可解答： 阴影部分对应的集合为（UB） A，B=x|3x40=x|x，UB=x|x，（ UB）A=x|x故选：D点评： 本题主要考查集合的基本运算，利用 Venn 图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键3.考点： 双曲线的简单性质 专题：
8、 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可解答： 解：双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线的斜率为 2，可得 ，即 b=2a，c 2a2=4a2，可得 e= 故选：C点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力4（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A 4 B 8 C 16 D 216考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 根据程序框图进行模拟运算即可解答： 解：第一次 16，b=2，a=1+2=3，第二次 36，b=4，a=3+2=5 ，第三次 56，b=2 4=16，a=5+2=7，第四次 76 不成立，输出 b=
9、16，故选：C点评： 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5（5 分）已知 a=sin2，b=log 2，c=log ，则（）A abc B cab C acb D cba考点： 对数值大小的比较 专题： 函数的性质及应用分析： 利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出解答： 解：0a=sin21，b=log 20，c=log =log231，cab故选：B点评： 本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题6（5 分）等比数列a n中， a2= ，a 6=4，记a n的前 n 项积为 Tn，则 T7=（）A 1 B 1 或一 1 C 2 D 2 或一 2考点
10、： 等比数列的前 n 项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 利用等比中项的性质计算即得结论解答： 解：设等比数列a n的公比为 q，则 q= =2 或2，a4= =1，a1a7=a2a6=a3a5= =1，T7=1，故选：A点评： 本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题7（5 分） =（）A B C D 1考点： 三角函数的化简求值 专题： 计算题；三角函数的求值分析： 由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值解答： 解： = = =1故选：D点评： 本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题8（5
11、 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A B C 1 D考点： 由三视图求面积、体积 专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的 4 个面的面积，得出面积最大的三角形的面积解答： 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱 PA底面ABC，PA=1，AC=2，点 B 到 AC 的距离为 1，底面 ABC 的面积为 S1= 21=1，侧面PAB 的面积为 S2= 1= ，侧面PAC 的面积为 S3= 21=1，在侧面PBC 中，BC= ，PB= ，PC= ，PBC 是 Rt，
12、PBC 的面积为 S4= = ，三棱锥 PABC 的所有面中，面积最小的是PAB，为 故选：B点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目9（5 分）在ABC 中， ABC=30，AB= ，BC 边上的中线 AD=1，则 AC 的长度为（）A 1 或 B C D 1 或考点： 余弦定理 专题： 解三角形分析： 在三角形 ABD 中，利用余弦定理列出关系式，把 AB 与 AD，cos ABC 的值代入求出 BD 的长，进而确定出 BC 的长，在三角形 ABC 中，利用余弦定理求出 AC 的长即可解答： 解：在ABD 中，ABC=30，AB=
13、 ，AD=1，由余弦定理得：AD 2=AB2+BD22ABBDcosABC，即 1=3+BD23BD，解得：BD=1 或 BD=2，若 BD=1，则 BC=2CD=2，在ABC 中，由余弦定理得：AC 2=AB2+BC22ABBCcosABC=3+46=1，解得：AC=1；若 BD=2，则 BC=2CD=4，在ABC 中，由余弦定理得：AC 2=AB2+BC22ABBCcosABC=3+1612=7，解得：AC= ，综上，AC 的长为 1 或 故选：A点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键10（5 分）已知函数 f（x） = ，则关于 x 的方程 f（x）=f（x 2）解的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4考点： 根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用 专题： 函数的性质及应用分析： 由题意可得本题即求函数 y=f（x）的图象和 y=f（x 2）的图象的交点个数，数形结合可得结论解答： 解：由函数 f（x）= ，可得 f（x 2）=，
