1、 武平一中 2014-2015 学年第二学期半期考试高二数学（理科）试题一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60，把答案填在答题卡上，否则不给分.）1设复数 满足 (1- i)z=2，则 （ ）A -+ i B C 1+i D 1- i 2离散型随机变量 (,0.4)X，则 ()X( )A0.4 B0.6 C1 D 0.243.分别掷两枚质地均匀的硬币， “第一枚为正面”记为事件 A,“第二枚为正面”记为事件 B， “两枚结果相同”记为事件 C,那么事件 A与 B、A 与 C间的关系是( )AA 与 B相互独立，A 与 C互斥 B A 与 B，A 与 C均相互独立 CA 与 B
2、， A 与 C 均互斥 DA 与 B 互斥，A 与 C 相互独立4在三段论:“所有的中国人都坚强不屈;一中人是中国人;一中人一定坚强不屈”中,其中“大前提” 和“小前提”分别是( )A B C D5如果随机变量 ),1(2N，且 4.0)13(P，则 )1(P（ ）A 1.0 B .0 C .0 D .6用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 2015 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A12088 B12092 C16118 D161227设 ()Sn1+ 21123nn ，则( )A. 共有 2项，当 时， ()S 14 B. ()共有 1项，当 时， 2C. ()Sn共有
3、2项，当 2n时， ()S 1234 D. 共有 1项，当 时， 8如图所示的阴影部分由方格之上 3个小方格组成，我们称这样的图案为 L形图案（每次旋转 90后仍为 L形图案） ，那么在 45小方格的纸上可以画出不同位置的 L形图案的个数（ ）A.16 B.32 C.48 D.649箱子里有 5个黑球， 4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4次取球之后停止的概率为（ ）A 4513CB 945314 C 4153 D 9453 10. 已知盒中装有 3只螺口灯泡与 7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡
4、口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第一次抽到的是螺口灯泡的条件下，第二次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A 310 B 29 C 78 D 79 11. 曲线 cos()yx与坐标轴围成的面积是（ ）A.4 B. 3 C.2 D.112.设 ()e0)axf过点 (,0)Pa且平行于 y轴的直线与曲线 :()Cyfx的交点为Q，曲线 C过点 的切线交 x轴于点 R，则 PQ的面积的最小值是（ ）A1 B24C 2e D 2e二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡上，否则不给分.）13复数 2015i的共轭复数是 14若 0(3)nxd，则二项式 2
5、1()nx展开式中的常数项为 . 15由 1,2,3,4,5五个数字组成的无重复数字的三位数中，能被 3整除的三位数的个数是_.（用数字作答）16. 在平面几何中有如下结论：正ABC 的内切圆面积为 1S，外 接圆面积为 2S，则124S.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 ABCD 的内切球体积为 1V，外接球体积为 2V，则 12_ _.三、解答题(本大题共 6小题，共 70分，其中第 17题 10分，其余各题 12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 把答案写在答题卡上，否则不给分.)17.（本小题满分 10分）已知在 3()nx的展开式中，第 4项为常数项.（） 求 n的
6、值； （）求展开式中含 3x项的系数18.（本小题满分 12分）甲、乙两人参加一项测试，根据历史经验，甲在本次测试中能通过的概率是 31，乙在本次测试中能通过的概率是 41，甲、乙两人能否通过本次测试是相互独立的，试求：（）甲、乙两人都不能通过本次测试的概率；（）甲、乙两人中恰有一人能通过本次测试的概率；（）甲、乙两人中至多有一人能通过本次测试的概率.19. （本小题满分 12分）现要安排 5名 大学生到 CBA,三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的（）求 5名大学生中恰有 2人去 A校支教的概率；（）设有大学生去支教的学校的个数为 ，求 的分布列20. （本小题满分 12分）如
7、图所示，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，ABAC2，A 1A4，点 D是 BC的中点（）求异面直线 A1B与 C1D所成角的余弦值；（）求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值21.（本小题满分 12分）如图，有一个长方形地块 ABCD，边AB 为 2km.，该地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线 AC是抛物线 2yx的一部 分. 现要铺设一条 过边缘线 AC 上一点 P的直线型隔离带 EF，E、F 分别在边 AB，BC 上( 隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km)，BEF 的面积为 S(单位: 2km).（）求
8、 S 关于 t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;（）问：按上述要求隔离出的BEF 面积 S 能否达到 3 2km?并说明理由.(说明：解答利用如图建立的平面直角坐标系)22.（本小题满分 12分）已知函数 2lnxfa， （ 1a）.（ ）求证：函数 fx在 (0,)上为增函数；函数 fx在 (,0)上为减函数；（）若关于 的方程 1m有四个不同的实数根，求实数 m的取值范围；（）比较 1f与 f的大小.EF第 21 题 PO(A) BCDxy武平一中 2014-2015 学年第二学期半期考试高二数学（理科）参考答案1A 2D 3B 4C 5A 6B 7C 8C 根据题意，由于由方格之上
9、3个小方格组成我们称这样的图案为 L形，那么在 45小方格的纸上可以画出不同位置的L形的图案 248，故答案为 C.9.D 10.D设事件 A为“第 1次抽到的是螺口灯泡” ，事件 B为“第 2次抽到的是卡口灯泡” ，则 P(A) 310，P(AB) 79 30则所求概率为 P(B|A) PA7301 911.B 12. D 13 i 1415 1524 构成能被 3整除的三位的数字组合有：1、2、3，2、3、4，3、4、5，1、3、5，共四种情况，每一种情况可以排成的三位数是 A个，故共 324个。 16. 1817. 解（） 331n(),09.2nTCxn 6 分（）9 321(),1,
10、-27rrr rx的 系 数 为12 分18.解：记甲、乙两人能通过本次测试分别是事件 A、B，则 P(A)= 3, P(B)= 4 1分（）甲、乙两人都不能通过本次测试的概率为：P(AB)=P( )P( )=(1- 31)(1- 4)= 24 分（2）甲、乙两人中恰有一人能通过本次测试的概率 为：P(A +B )=P(AB)+P(BA)= (1- 1)+ (1- 3)=1258 分（）甲、乙两人中至多有一人能通过本次测试的概率为： 1- P(AB)=1- 31 4= 212 分19.解：（） 5 名大学生到三所学校支教的所有可能为 2435种，2 分设“恰有 2人去 A校支教”为事件 M，则
11、有 80325C种， 4380)(MP答：5 名大学生中恰有 2人去 校支教的概率 44 分（）依题意得： 3,1，5 分1人去同一所学校，有 13C种， 8123)(P，7 分52人去两所学校，即分为 4,1或 3,2有 905423AC种， 27081439)(P，9 分3人去三所学校，即分为 3,1,1或 2，2, 1有50)!2!1( 3525AC种， 815043)(P11 分 的分布列为 12 分20.（）以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0) ，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C1(0，2，4)，
12、所以 1B(2，0，4)， CD(1，1，4)因为 cos 1A， CD 1|A 83020 ，所以异面直线 A1B与 C1D所成角的余弦值为 3.6 分（）设平面 ADC1的法向量为 n1(x，y，z)，因为 AD(1，1，0)，1(0，2，4)，所以 n1A0， n1 C0，即 xy0 且 y2z0，取 z1，得 x2，y2，所以 n1(2，2，1)是平面 ADC1的一个法向量取平面 AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 .由|cos|12 39 ，得 sin 53.因此，平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 53.12
13、 分21.解（）AB=2， C点坐标为 (2,4)又 2yx=，过2(,)Pt的切线 EF的方程为2ytx=-令 0y=，得(,)tE；令 ，得2(,4)t-，321(86)Stt5分，定义域为 (0,26 分（）234(31)()4tt由 ()St，得403t ()St在0,上是增函数，在(,2上是减函数， 在 (,2上有最大值46()37S11 分又64173，隔离出的 BEF面积 S不能达到 3 2km12 分22. 解：（） ln2l1lnxxfaaax，1 分当 0,x时， 0，又 ， 0， l， 1lfax，函数 fx在 ,上为增函数3 分当 ,x时， 2， 1xa， lna， ln0f，函数 f在 ,0x上为减函数.5 分EF第 21 题 PO(A) BCDxy（）由（）可知， fx的最小值为 01f.由 1fxm知， 1或 xm. f有四个不同的实数根，且 fx在 ,0上单调递减，值域为1,； x在 0,上单调递增，值域为 1,. 1，且 1，即 2. 的取值范围为 2,.9分（） a时， 1lnlnlnfaaa，设 12lng，则 2221 0g. a在 ,上为增函数， a时， 1ln1g. (1)f。12 分
