1、高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！KS5U2015辽宁高考压轴卷理科数学第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数 对应的点位于( )iz21A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设全集 U=R， ， ，则图 1 中阴影表示|AxN0|BxR260的集合为（ ）A. B. C. D.22,33,133.函数 的最小正周期是（ ）sincoyxA. B. C.2 D.14. 已知 ， ， ， ，则01alg2lo3aax1log52ayl21log3a
2、az的大小关系是（ ）zyx,A. B. C. D. yzxzxy5. 如图 2，用 6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛” （即图中 、 所示区域）AB用相同颜色，则不同的涂法共有( ). 36 种 .210 种 . 216 种 .120 种6. 在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和的 ，则中间一组的频数为（ ）15A.40 B.50 C.60 D.487.数列 满足 ， 是 的前 项和，则 （ ）na*11(),22naNanSan201SA.502 B.500 C.504 D.498本试卷
3、分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟A B图 2图 1高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！8. 若过点 的直线 l与曲线 有公共点，则直线 l的斜率的取值A)1,0(12)3(2yx范围为 A. B. )3,( ,C. D.),(),(,3,9. 已知 的展开式中第 3 项与第 5 项的系数之比为 ，则展开式中的常数项nxi2 14为（ ）A.21 B.16 C.35 D.4510.设 N),则集合 中元素的个数是（ ）niinfn(1)( )(nfxA.1 B.3 C.2 D.411.如图 3， 四棱锥 S-ABCD 的底
4、面是边长为 1 的正方形，SDAD，且 SD=1，SB= ，M3为 SA 的中点，则异面直线 DM 与 SB 所成角为（ ）A. B. C. D.060459012. 设函数 ，方程 有且只有两相不等实数根，则实数12,0()xffaxf)(的取值范围为（ ）aA. B. C. D.3,4)4,1( 3,(),4第卷二、 （本大题共 4 小题，每小题 5 分）13.不等式 的解集 .25(1)x A BD CSM 图 3高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！14.设 、 满足约束条件 ，则目标函数 取得最大值的点xy5,3210,4.xy65zxy的坐标是 .(,)15
5、.问题：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到a1， a2， ，a n，共 n 个数据我们规定所测量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a 2，a n 推出的 . a16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在 轴上，左、右焦点分别为 ，x1F，且它们在第一象限的交点为 P， 是以 为底边的等腰三角形若 10 ，2F12F1PP双曲线的离心率的取值范围为 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 ),(三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）ABC 中，角 A
6、的对边长等于 2，向量 m= ，向量 n= .2cos1BC， si,12A（1 ）求 mn 取得最大值时的角 A；（2 ）在（1 ）的条件下，求ABC 面积的最大值.18. （本小题满分 12 分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏 ”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有 8 张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃” 或“奥运会徽”，要求参加游戏的 4 人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽 2 张，抽取后不放回，直到 4 人中一人一次抽到 2 张“ 奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏（1 ）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任
7、抽 2 张卡片不都是“ 奥运会徽” 卡的概率为 请你回答有几张“ 奥运会徽” 卡呢？58（2 ）现有甲、乙、丙、丁 4 人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取用 表示 4 人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求 的概率分布及 的数学期望19. （本小题满分 12 分）如图 4，已知长方体 中， ,1DCBA,2,3BC51是 上不同于端点的点，且 .E1CE（1 ） 当 为钝角时，求实数 的取值范围；B（2 ） 若 ，记二面角的大小为 ，求 .52cos（图 4）A BCDEA1B1C1D1高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！20.（本小题满分 12 分）如图
8、 5，已知位于 轴左侧的圆 与 轴相切于点 ，且被 轴分成的两段弧长之比为yCy(0,1)x，过点 的直线 与圆 相交于 两点，且以 为直径的圆恰好经过坐标21:(0,)Htl,MN原点 O（1 ）求圆 的方程；C（2 ）当 时，求出直线 的方程；tl（3 ）求直线 的斜率 的取值范围Mk21.（本小题满分 12 分）已知函数 ， ， ， 2()lnfxax2145()ln639fxx221()fxaR（1 ）求证：函数 在点 处的切线恒过定点，并求出定点坐标；fe,（2 ）若 在区间 上恒成立，求 的取值范围；2()fx1,a（3 ）当 时，求证：在区间 上，满足 恒成立的函数a,12()(
9、)fxgfx有无穷多个()gx请考生在第 22、23 、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知 中， ， 是 外接圆劣弧 上的点（不与点 、 重合） ，ABCDABCAAC延长 至点 DE求证： 的延长线平分 .ExyOC图 5BACD E（第 22 题图）高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 经xOyC,sin42co1yxl过定点 ，倾斜角为 .)5,3(P3（
10、1 ）写出直线 的参数方程和曲线 的标准方程；l（2 ）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值.CBA,PB24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .xxf52)(（1 ）求证： ，并说明等号成立的条件；（2 ）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.x2)(mxf m高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！KS5U2015辽宁高考压轴卷理科数学答案一、选择题1.D 2. A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.D 12.A解析：1 ，即该复数 对应的点在第四象限.故选 D.iz2ii5124z2. ，则
11、 .故选 A.3,BB3. ，周期 .故选 D.sincosin2yxx1T4. ， ，lgl3aa6logalog52aylalog21l3aaz，又 ，即对数函数在其定义域内为减函数，所以有701，即 .故选 A.5l6lol aaa yxz5. 解法一：6 种颜色中选三色、两色、一色填涂，共有 （种）21623636CAC；解法二：涂眼睛有 种，涂鼻子有 种，涂嘴巴有 种，共有 种.故选16C161616C.6. 在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为 1.设中间一个小长方形面积为 ，则 ，解得 ，中间一组的频数为 .故选x1()5x1613056B.7. ，
12、， .故选 A.1234,1aa20151052S8. 设 ，求出直线与圆相切时的斜率. ，,:ykxyl 132k，所以直线 的斜率的取值范围为3kl高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！,3,9. 第 3 项，第 5 项的系数分别为 ， .由题意有 ，整理得2)(iCn4)(in 143)(42iCn，解得 符合题意.由 ，当02n10 rrrnxT2201时，有 ，故常数项为 .故选 D.0r8r 45)(80i10. = ,分 n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3(k N)四种情况，)(nf1()nniii 分别代入可得的值为 .故选 B.2,01
13、1. 取 AB 的中点 N，连结 MN，DN，则 MNSB，DMN 就是异面直线 DM 与 SB 所成的角M 为 SA 的中点 MN SB .在 RtSAD 中，DM= SA=12312=2SDA在 RtAND 中，DN= = = .2AN1452在 RtDMN 中，MN 2+DM2=DN2= ，DMN 为直角三角形，5DMN=90.异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90.故选 D.12.作出函数图象，由数形结合可知， 经过 时有 2 个交点，因此可得 ，所以实数 的axf)()4,1( 3aa取值范围 .故选 A.3,4二、填空题A BD CSMNxyO2高考资源网（） 您身边的高考专家
14、高考资源网版权所有，侵权必究！13. 14. 15. 16.132， ， ),2(12na52,31解析：13. 由 ，整理得 ，解得 .又 ，即 ，25(1)x 0352x2x011x所以原不等式的解集为 .1， ，14. 在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围. 欲求 的最大值，即65zxy求 轴上的截距最大值，由图可知，在(2, 3) 点处目标函数 取得最大值. y15. 本题涉及的数量较多，关键在于对题目所给信息的提炼、加工.仔细读题后发现可以写出“最佳近似值”a 的函数表达式，这样问题就转化为函数的最值问题了，即关于 a 的二次函数 2221()()()nfaaa有最小值，而
15、此时 .2212nn 12n16. 如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为 ，c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为 ，1a 2ac， m， n ，则 ，得1PF2120mnc，125ac，问题转化为 1 2，求 的取值范围5c5设 x，则 c ，所以 5cxc21x42x因为 1x2 ，所以 ，即 2164031x25三、解答题17. 解：（1 ）m n2 . 因为 ABC ，siA2cos12sinco()BCAB所以 BC A ，于是 mn cosA2 2 .iisi1213(sin)因为 ，所以当且仅当 ，即 A 时，mn 取得最大值 .0,2s33故 mn 取得最大值时的角 A . 3（2
16、 ）设角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，由余弦定理，得 b2c 2a 22bccos A，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号.bcbc2424c高考资源网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！又 .当且仅当 时，ABC 的面积最大为 . 34sin21bcAbcSABC 2cba318. 解：（1 ）设盒子中有“会徽卡” 张，依题意有， ，解得 . n8512Cnn即盒中有“会徽卡”3 张 （2 ）因为 表示某人一次抽得 2 张“福娃卡” 终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为 1，2，3，4.； ；45)(28CP212353548686() 7CCP
17、；1112221353535342428648686()，11123532864(4) 7CPC概率分布表为： 1 2 3 4P 45717的数学期望为54321E19. 解：（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空DAxDCy1z间直角坐标系.由题设，知 ， ， ， .)0,(B)5,2(1)0,3()5,(C因为 ，所以 ,所以 .CE CC1 1,E从而 (2 ，0，5)， , .EB )502()5,32(1A当 为钝角时， ,所以 ,即 ，1Acos1B0B0)5(解得 .即实数 的取值范围是 .5454,（2）当 时， , .)20(EB)3,(1A高考资源
18、网（） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！设平面 的一个法向量为 ，1BEA),(1zyxn由 得,01n,032xz取 ，得 .x5y所以平面 的一个法向量为 .1BEA)1,35(1n易知，平面 的一个法向量为 .02因为 ，从而 .439,cos2121n43cos20.解：（1 ）因为位于 轴左侧的圆 与 轴相切于点 ，所以圆心 在直线yCy(0,1)C上y设圆 与 轴的交点分别为 、 ，由圆 被 轴分成的两段弧长之比为 得CxABx21:，23AB所以 ，圆心 的坐标为 ，所以圆 的方程为 .C(2,1)C22()()4xy4 分（2 ）当 时，由题意知直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，1tl l1ym由 得 或22,()()4ymx0,1xy24,1.m不妨令 ，因为以 为直径的圆恰好经过原点 ，22,),(1MNMNO所以 ，24141(,0,)0ONmm解得 ，所以所求直线 方程为 或 3l(3yx(23)1yx（3 ）设直线 的方程为 ，由题意知， ，解之得 ，ykx21k 4k同理得， ，解之得 或 由（2）知， 也满足题意134k 43 -0=0所以 的取值范围是 .(,
