1、 福建省冷曦中学 2016 届开学第一考数学试题考试时间：2015 年 8 月 9 日 8.00-10.30 试卷满分：150 分一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1A、B、C、D 分别是复数 ， 在复平面内对应的点,O 是原点,若 ,则 COD 一定是A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D.等腰直角三角形2（5 分）下列集合中，是空集的是（）Ax|x 2+3=3 B（x，y）|y=x 2，x，yRCx|x 20 Dx|x 2x+1=0，xR3已知（1+ax）（1+x） 5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a=（）A 4 B 3 C 2 D 14若
2、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线 l 参数方程为 （t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为=4sin，则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为（）A B C D5（5 分）数列a n满足 a1=1，a n+1=ran+r（n N*，rR 且 r0），则“ r=1”是“数列a n成等差数列”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件6（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是（） A B C 4 D 17（5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该
3、直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C 若 = ，则双曲线的离心率是（）A B C D8（5 分）已知函数有且仅有 3 个实数根 x1、x 2、x 3，则 x12+x22+x32=（）A 5 B C 3 D9（5 分）已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 确定，若M（x，y）为 D 上的动点，点 A 的坐标为（1，1），且 z= 的最小值为1，则实数a=（）A 7 B 5 C 4 D 310（5 分）对于定义在区间 M 上的函数 f（x），若满足对x 1，x 2M 且 x1x 2 时，都有f（x 1）f （x 2），则称函数 f（x）为区间 M 上的“非减函数” ，若 f
4、（x）为区间上的“ 非减函数” ，且 f（0）=0 ，f （x）+f（1x）=1；又当 x时，f（ x）2x 1 恒成立有下列命题：x，f（x） 0；当 x1，x 2且 x1x2 时，f （x 1）f（x 2）；f （ ）+f（ ）+f （）+f（ ）=2； 当 x时，f （f（x）f（x）其中正确命题有（）A B C D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11（5 分）在区间上随机取一个数 x，使得|x|x 1|1 成立的概率为12（5 分）一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0，1，2，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1，2，3，10现用系
5、统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 小组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是 13（5 分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为14（5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x），g（x）满足 =ax，f（x）g（x）f（x）g （x）， + = ，若有穷数列 （nN ）的前 n 项和等于 ，则 n=15（5 分）已知ABC 中，AB 边上的中线|CM|=2，若动点 P 满足=sin2 +cos2 （R），给出下列命题
6、：对 R，R ，使得 = ；当（ ， ）时，存在唯一的 ，使 = （ + ）；动点 P 在运动的过程中，（+ ） 的取值范围为； 若| |=2，动点 P 在运动的过程中，| |2+| |2+| |2 的最小值为 以上命题中，其中正确命题的序号为三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16（12 分）已知函数 f（x ）=2sinx（sinx+cosx），x R（）求函数 f（x）的最小正周期及单调增区间；（）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且满足 f（ + ）= ，cosC+（cosA sinA）cosB=0 ，a=2 ，求 ABC 的面积17（12 分）某高校自
7、主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为 ， ， ，各轮考核通过与否相互独立学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为 ， ，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响（）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；（）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生 100 元，200元，300 元，记学生甲获得奖励的金额为 X，求 X 的分布列及数学期望18（12 分）已知正项数列a n
8、的前 n 项和为 Sn，满足 an2=Sn+Sn1（n2），a 1=1（）求数列a n的通项公式；（）设 bn= ，数列b n的前 n 项和为 Tn，证明：对任意 nN，都有 Tn恒成立19（13 分）如图 1，在 RtACB 中， C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置（）如图 2，当 A1CCD 时，求证：A 1C平面 BCDE；（）如图 3，设平面 A1CD 与平面 A1BE 所成锐二面角为 ，当 tan= 时，求点 C 到平面 A1BE 的距离20（13 分）如图，已知椭圆 + =1（ab0
9、）的离心率为 ，且过点（ ， ）（）求该椭圆的方程；（）若 A，B，C 为椭圆上的三点（ A，B 不在坐标轴上），满足= + ，直线 OA，OB 分别交直线 l：x=3 于 M，N 两点，设直线 OA，OB 的斜率为 k1，k 2证明：k 1k2 为定值，并求线段MN 长度的最小值21（13 分）已知函数 f（x ）= （x 1）（）求函数 f（x）的最小值；（）求证：（ ） n+（ ） n+（ ） n+（ ） n （n N）福建省冷曦中学 2016 届开学第一考数学试题（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1A、B、C、D 分别是复数 ， 在复
10、平面内对应的点,O 是原点,若 ,则 COD 一定是A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D.等腰直角三角形答案：C2（5 分）下列集合中，是空集的是（）A x|x2+3=3 B （x，y）|y=x 2，x，yRCx|x 20 D x|x2x+1=0，xR【答案解析】D考点： 空集的定义、性质及运算专题： 计算题分析： 不含任何元素的集合称为空集，对于 A，集合中含有 0，对于B，集合中含有无数个点，对于 C，集合中含 0，是非空的，对于 D，方程无解，则集合中不含有元素解答： 对于 A，集合中含有 0，故错；对于 B，集合中含有无数个点，故也错对于 C，集合中含 0，是非空的，
11、故错；对于 D，所对应的方程无解，集合中不含有元素，故正确；故选 D点评： 本题主要考查空集的概念，空集的定义：不含任何元素的集合称为空集空集的性质：空集是一切集合的子集3（5 分）已知（1+ax）（1+x） 5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a=（）A 4 B 3 C 2 D 1考点： 二项式系数的性质 专题： 概率与统计分析： 由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中 x2 的系数为 +a =5，由此解得 a 的值解答： 解：已知（1+ax）（1+x） 5=（1+ax）（1+ x+ x2+ x3+ x4+ x5） 展开式中 x2 的系数为 +a =5，解得 a=1，故选：D点评：
12、本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4（5 分）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线 l 参数方程为 （t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 =4sin，则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为（）A B C D考点： 参数方程化成普通方程 专题： 直线与圆；坐标系和参数方程分析： 把直线 l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程都化为普通方程，利用圆心到直线 l的距离 d 与半径 r 求出弦长|AB|的值解答： 解：把直线 l 的参数方程 （t 为参数）化为普通方程是x+y3=0，
13、把曲线 C 的极坐标方程 =4sin 变形为2=4sin，化为普通方程是 x2+y2=4y，即 x2+（y 2） 2=4，它表示圆心为（0，2），半径 r=2 的圆；则圆心到直线 l 的距离为d= = ，所以，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为|AB|=2 =2 = 故选：B点评： 本题考查了直线的参数方程与圆的极坐标方程的应用问题，解题时可以化为普通方程进行解答，是基础题目5（5 分）数列a n满足 a1=1，a n+1=ran+r（n N*，rR 且 r0），则“ r=1”是“数列a n成等差数列”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点：
14、 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 阅读型分析： 把 r=1 代入给出的递推式，直接判断出数列a n是等差数列，再由给出的递推式，当 r1 时，配方后得到 ，说明数列 是等比数列，求出其通项公式后可得 an，由 an 看出，当 r= 时数列a n为等差数列，从而说明“r=1” 是“数列a n成等差数列” 的不必要条件解答： 解：当 r=1 时，等式 an+1=ran+r 化为 an+1=an+1，即 an+1an=1（nN *）所以，数列a n是首项 a1=1，公差为 1 的等差数列；“r=1”是“ 数列a n成等差数列”的充分条件； 当 r 不等于 1 时，由 ，得： ，所以，数列
15、 是首项为 ，公比为 r 的等比数列所以， ，当 r= 时，a n=1a n是首项为 1，公差为 0 的等差数列因此，“r=1”不是“数列a n成等差数列”的必要条件综上可知，“r=1 ”是“数列a n成等差数列”的充分但不必要条件故选 A点评： 本题考查了必要条件、充分条件及充要条件，解答的关键是判断必要性，也是该题的难点，考查了由递推式求数列的通项公式，对于 an+1=pan+q 型的递推式，一般都可转化成一个新的等比数列此题是中档题6（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是（） A B C 4 D 1考点： 程序框图 专题： 图表型分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再
16、根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 S 的值并输出解答： 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 S i循环前/4 1第一圈 是1 2第二圈 是 3第三圈 是 4第四圈 是 4 5第五圈 否故最后输出的 S 值为 4故选 C点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型7（5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C 若 = ，则双曲线的离心率是（）A B C D考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点，进而表示出 和 ，进而根据 =求得 a 和 b 的关系，进而根据 c2a2=b2，求得 a 和 c 的关系，则离心率可得解答： 解：直线 l：y= x+a 与渐近线 l1：bxay=0 交于 B（ ， ），l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于 C（ ， ），A （a， 0）， =（ ， ）， =（ ， ）， = ， = ，b=2a，c2a2=4a2，e2= =5，e= ，故选 C点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用
